使用瞬時(shí)頻率表示 PM 和 FM 信號

在這篇文章中，我們將探討相位調制（PM）和頻率調制（FM）之間的數學(xué)關(guān)系。然后，我們將學(xué)習如何使用相位調制器來(lái)生成 FM 信號，反之亦然。

角調制技術(shù)分為兩類(lèi)：相位調制（PM）和頻率調制（FM）。系列上一篇介紹了相位調制 ，并提供了一些示例波形，以幫助我們理解消息信號如何影響 PM 波形?，F在，從更數學(xué)的角度繼續我們的討論，我們將擴展我們的關(guān)注范圍，包括頻率調制。

利用瞬時(shí)頻率的概念，我們將為這兩種信號類(lèi)型創(chuàng )建數學(xué)表示。這將幫助我們探索兩種角調制形式之間的關(guān)系。我們將發(fā)現，PM 和 FM 方法如此密切相關(guān)，以至于增加一個(gè)電路允許一種類(lèi)型的調制器生成另一種類(lèi)型的信號。

PM 波：相位與頻率之間的關(guān)系

角調制信號可以用一個(gè)具有恒定振幅且其自變量（θ）隨傳輸的消息信號變化的正弦函數來(lái)表征：

$$=\cos$$

公式 1。

我們將θ稱(chēng)為瞬時(shí)角或瞬時(shí)相位。在調相（PM）中，瞬時(shí)角隨消息信號線(xiàn)性變化，產(chǎn)生：

$$=+$$

公式 2.

其中：

fc 是載波頻率

kp 是比例常數

m(t) 是消息信號。

圖 1 顯示了由正弦消息信號生成的 PM 波，載波頻率為 fc = 80 Hz，且 kp 的常數值為 25 rad/V。

圖 1。 一個(gè)正弦消息信號（頂部）及其對應的 PM 波（底部）。 

正如我們所見(jiàn)，消息波形下降部分會(huì )導致輸出頻率降低，而上升部分則會(huì )增加輸出頻率。之前的文章提供了幾個(gè)例子來(lái)演示消息信號的上升或下降部分如何影響 PM 波的頻率。

另一種看待這一現象的角度是，當消息信號隨時(shí)間增加時(shí)，它會(huì )為 2πfct（見(jiàn)公式 2）所貢獻的相位項增加一個(gè)遞增項。因此，調制波的相位會(huì )更快地完成一個(gè)完整周期。這表現為頻率的增加。換句話(huà)說(shuō)，PM 波在 (t) 的正斜率期間被壓縮。

相反，當消息信號隨時(shí)間減少時(shí)，它會(huì )貢獻一個(gè)負相位變化，抵消部分由 2πfct 項引起的正相位變化。這意味著(zhù)調制波需要更長(cháng)的時(shí)間來(lái)完成一個(gè)完整周期，從而導致頻率降低。換句話(huà)說(shuō)，PM 波形在 (t) 的負斜率期間被拉伸。

為了更好地理解這個(gè)解釋?zhuān)埧紤]以下 fc = 100 Hz 的正弦函數：

$$=\sin +$$

公式3

其中 ?(t) 是附加的相位偏差。圖 2 顯示了該正弦波在三個(gè)不同的 ?(t) 條件下的一個(gè)四分之一周期：

1. ?(t) = 0

2. ?(t) = 90 – 100t

3. ?(t) = 90 + 100t

圖 2。 由方程 3 描述的波形的一個(gè)四分之一周期，對于三種不同的 ?(t)。

在上面的圖中，藍色曲線(xiàn)（?(t) = 0）表示一個(gè)未調制的波形。對于藍色曲線(xiàn)，一個(gè)四分之一的周期跨越了 0 到 2.5 毫秒的區間。

紅色曲線(xiàn)（?(t) = 90 + 100t）表示一個(gè) PM 波形，其中消息信號隨時(shí)間增長(cháng)。在這種情況下，來(lái)自?(t)的正相位變化增加了來(lái)自 2πfct 項的變化。因此，超過(guò)一個(gè)四分之一的周期適合在 0 到 2.5 毫秒的區間內。

最后，綠色曲線(xiàn)（?(t) = 90 – 100t）表示一個(gè) PM 波形，其中相位項在減少。來(lái)自?(t)的負相位變化抵消了部分來(lái)自 2πfct 項的正相位變化。結果，波形的一部分不到一個(gè)四分之一適合在 0 到 2.5 毫秒的區間內。

瞬時(shí)頻率

一個(gè)未調制的信號，其頻率為 fc，振幅為 Ac，初始相位為 ?0，可以用一個(gè)旋轉角速度為 2πfc 的 相量 來(lái)表示。這如圖 3(a) 所示。一個(gè)角度調制的信號相當于一個(gè)振幅為 Ac、角速度隨時(shí)間變化的相量，如圖 3(b) 所示。

圖 3. 未調制信號的相量表示 (a) 和角度調制信號的相量表示 (b)。

讓我們更仔細地研究角度調制波。我們如何表征其旋轉頻率？當 θ 變化 2π 弧度時(shí)，相應的相量完成一個(gè)完整的旋轉周期。因此，在 t 到 (t + Δt) 的時(shí)間間隔內的平均頻率（單位：赫茲）可以表示為：

$$=+?$$

公式4。

在未調制的載波頻率為 fc 且初始相位為?0 的特例中，上述公式產(chǎn)生：

$$=++?+=$$

公式 5。

如所展示，未調制載波的平均頻率等于 fc。對于角度調制信號，平均頻率取決于所關(guān)注時(shí)間間隔內消息信號的價(jià)值。然而，如果我們讓方程 4 中的Δt 趨近于零，所獲得的頻率可以解釋為旋轉相量的瞬時(shí)頻率，f(t)。對于Δt → 0，該方程可以改寫(xiě)為θ的時(shí)間導數 ：

$$=$$

公式 6。

根據上述公式，對應相量的角速度等于 2πf(t) rad/s。

通過(guò)應用瞬時(shí)頻率的概念，我們可以解釋圖 1 中 PM 波的行為。如果我們把方程 2 中的θ代入瞬時(shí)頻率方程，我們得到：

$$& & +& +$$

公式 7。

這意味著(zhù)隨著(zhù)消息信號隨時(shí)間增加，輸出頻率會(huì )上升。相反，當消息信號減少時(shí)，輸出頻率會(huì )下降。

表示 PM 和 FM 信號

現在我們已經(jīng)了解了瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率的基礎知識，我們可以使用它們來(lái)對 PM 和 FM 方案提供一個(gè)統一的描述。通過(guò)將瞬時(shí)相位寫(xiě)為：

$$=+$$

公式 8。

其中 ?(t) 是相位偏差，我們可以將方程 1 描述的角度調制波表示如下：

$$=\cos +$$

公式9。

這表明瞬時(shí)相位是 2πfct 和?(t)所設定的中心值之和。在兩種角度調制形式中，?(t)都取決于消息信號。對于 PM，?(t)與消息信號成正比：

$$=$$

公式10。

其中 kp 是比例常數。假設 m(t) 是電壓量，kp 以弧度每伏特表示。

由方程式 9 描述的調制波的瞬時(shí)頻率是通過(guò)取瞬時(shí)相位的導數來(lái)確定的。

$$==+$$

公式 11。

瞬時(shí)頻率的與消息相關(guān)的部分稱(chēng)為頻率偏移：

$$=$$

公式12。

在調頻系統中，頻率偏移與消息信號成正比：

$$=$$

公式13

其中 kf 是頻率偏移常數。假設 m(t) 是電壓量，kf 以赫茲每伏特表示。

對上述方程進(jìn)行積分，我們可以確定 ?(t) 并將其代入方程 8，從而得到調頻信號方程：

$$=\cos +{}^{}m$$

公式14。

注意到上述方程中通常會(huì )出現一個(gè)常數，這是由于積分產(chǎn)生的。然而，我們假設未調制波的相位在 t = 0 時(shí)為零。這消除了常數。

雖然我們正在談?wù)摮?，但值得提一下，比例常?(kp) 有幾個(gè)不同的名稱(chēng)。根據你參考的資料不同，你可能會(huì )發(fā)現 kp 被描述為相位偏移常數、調制器的相位靈敏度、相位調制指數，或者簡(jiǎn)單地稱(chēng)為調制指數。類(lèi)似地，kf——頻率偏移常數——有時(shí)被稱(chēng)為調制器的頻率靈敏度。

FM 與 PM 的關(guān)系

如果我們建立它們輸入之間的特定關(guān)系，FM 和 PM 調制器可以產(chǎn)生相同的輸出。為了理解這一點(diǎn)，請考慮方程 14 以及下面重述的 PM 信號方程：

$$=\cos +$$

公式15。

從公式14和15可以看出，為了使這兩種方法產(chǎn)生相同的輸出，需要滿(mǎn)足以下關(guān)系：

$$={}^{}{}^{}$$

公式16。

where:

mf(t) 是施加到調頻調制器的輸入

mp(t) 是施加到 PM 調制器的輸入。

從公式 16 可以看出，如果 mp(t) 是 mf(t) 的積分，那么 PM 和 FM 電路會(huì )產(chǎn)生相同的輸出。簡(jiǎn)而言之，如果我們在一個(gè)相位調制器的輸入端放置一個(gè)積分器，我們可以用它來(lái)產(chǎn)生 FM 信號。這個(gè)設置如圖 4 所示。

圖 4。 使用相位調制器產(chǎn)生 FM 波。

公式 16 還表明，如果施加到 FM 調制器的信號等于施加到 PM 調制器的信號的導數，那么這兩種調制器會(huì )產(chǎn)生相同的輸出。這意味著(zhù)如果我們對消息信號進(jìn)行微分，然后再將其用作 FM 調制器的輸入，那么 FM 調制器可以用來(lái)產(chǎn)生 PM 信號（圖 5）。

圖 5. 使用調頻器產(chǎn)生 PM 波。

例如，考慮圖 6 左上角所示的正弦波消息 m(t)。

圖 6. 左上：一個(gè)方波消息信號。左下：其相應的調頻波。右上：一個(gè)未調制的鋸齒波。右下：其相應的 PM 波。

方波消息相應的調頻波顯示在該圖的左下象限中（fc = 5 Hz, kf = 1.59 Hz/V）。該圖的右上象限顯示一個(gè)鋸齒波；右下象限顯示了其 PM 波，對于 kp = 10 rad/V。

并排放置時(shí)，這兩個(gè)調制波看起來(lái)是相同的。由于方波的積分會(huì )產(chǎn)生鋸齒波信號，這并不令人驚訝。

總結

在這篇文章中，我們通過(guò)數學(xué)視角深化了對角度調制——包括 PM 和 FM——的理解。我們深入探討了瞬時(shí)頻率的概念，并利用這一概念考察了 PM 和 FM 方法之間的密切關(guān)系。我希望這篇文章能幫助您更深入地理解這些調制方法以及它們產(chǎn)生的信號時(shí)域行為。