哪些運動(dòng)方程對工業(yè)機器人很重要？

運動(dòng)學(xué)模型是機器人運動(dòng)的數學(xué)表示，它側重于元件之間的幾何關(guān)系，而忽略了影響運動(dòng)的外力。運動(dòng)學(xué)模型用于規劃和控制工業(yè)機器人的路徑。 

正向運動(dòng)學(xué)根據機器人手臂中每個(gè)關(guān)節的角度確定末端執行器的當前位置和方向。計算使用一系列變換矩陣，其中包含關(guān)節角度、長(cháng)度和偏移參數。

變換矩陣從機器人基礎到末端執行器按順序相乘。結果是三維坐標中的位置和末端執行器的方向（以角度表示）。反向運動(dòng)學(xué)反轉了該過(guò)程，根據末端執行器的位置確定所需的關(guān)節角度，如圖 1 所示。

圖 1.使用正向或反向運動(dòng)學(xué)定義機器人關(guān)節位置。（圖片：MathWorks）)

Denavit-Hartenberg 公約

Denavit-Hartenberg （DH） 約定是表示機器人幾何和關(guān)節角度的標準化方法。它詳細介紹了如何將坐標系附加到機器人中的關(guān)節，從而定義相鄰關(guān)節之間的相對位置和方向。

如圖 2 所示，每個(gè)關(guān)節或鏈接由四個(gè)參數描述，包括鏈接長(cháng)度 （a）、鏈接角度 （θ）、鏈接偏移 （d） 和鏈接扭曲 （α）。這四個(gè)參數用于計算每個(gè)關(guān)節的轉換矩陣。矩陣可以相乘以確定從機器人底座到末端執行器的整體變換?？刂葡到y使用 DH 參數來(lái)計算所需的關(guān)節角度，以實(shí)現所需的末端執行器姿勢。

圖 2.DH 參數示例。（圖片：MDPI 傳感器)

雅可比矩陣

DH 約定可以與雅可比矩陣一起使用，以將聯(lián)合速度與末端執行器速度相關(guān)聯(lián)。關(guān)節速度可以描述旋轉關(guān)節的關(guān)節旋轉速度，以及棱柱關(guān)節關(guān)節的關(guān)節伸展或收縮的速度。

雅可比矩陣 （J） 是偏導數矩陣，用于描述關(guān)節速度和末端執行器速度之間的關(guān)系。在機器人控制系統中，J 用于將關(guān)節速度映射到末端執行器的速度。

換位 J 允許計算在末端執行器上產(chǎn)生所需力所需的關(guān)節扭矩。在運動(dòng)規劃中，J 用于識別和避免機器人失去自由和精確移動(dòng)能力的奇點(diǎn)。當 J 的行列式變?yōu)榱銜r(shí)，就會(huì )出現奇點(diǎn)。

奇異

在奇點(diǎn)中，關(guān)節角度和末端執行器位置之間的數學(xué)關(guān)系會(huì )斷開(kāi)，機器人會(huì )失去一個(gè)或多個(gè)自由度。當多個(gè)關(guān)節以阻止機器人向一個(gè)或多個(gè)方向移動(dòng)的方式對齊時(shí)，就會(huì )出現奇點(diǎn)。這可能導致失控、不穩定或動(dòng)作抽搐。通過(guò)仔細設計運動(dòng)軌跡，可以避免奇點(diǎn)配置。

可作性

奇點(diǎn)是有限可縱性的一種形式。Manipulability （可作性） 衡量機器人根據當前關(guān)節配置更改末端執行器位置的程度?？煽v性是使用 J 的奇異值分解來(lái)計算可縱性橢球體的。

可縱性橢球體直觀(guān)地表示機器人向不同方向移動(dòng)的能力。體積較大的橢球體表示更高的可作性。橢球體軸的比率接近 1 表示在所有方向上的可縱性相等，稱(chēng)為各向同性可縱性。較大的比率表明奇點(diǎn)正在逼近。

總結

運動(dòng)方程用于確定從一個(gè)姿勢移動(dòng)到另一個(gè)姿勢的最佳軌跡，并避免可能限制機器人運動(dòng)的奇點(diǎn)等困難。DH 約定是表示機器人的幾何圖形和關(guān)節角度的標準化方法。雅可比矩陣提供了用于優(yōu)化機器人運動(dòng)的計算框架。