基于Kane方法的工業(yè)機器人系統柔性動(dòng)力學(xué)模型研究*

*基金項目：工業(yè)和信息化部2020年產(chǎn)業(yè)技術(shù)基礎公共服務(wù)平臺—工業(yè)機器人核心關(guān)鍵技術(shù)驗證與支撐保障服務(wù)平臺建設項目（2020-0097-1-1）

現有工業(yè)機器人控制領(lǐng)域，已建立基于機器人全剛性連接假設的機器人動(dòng)力學(xué)模型^[1][2][3]，基于該模型實(shí)時(shí)引入動(dòng)力學(xué)前饋控制量，可在一定程度上改善系統動(dòng)態(tài)響應速度，但卻不可避免地導致了系統末端抖動(dòng)和不穩定性^[4]。已有研究表明，機器人系統中的柔性因素（關(guān)節柔性）可影響末端執行器的定位精度與運行穩定性^[5]，建立考慮機器人柔性因素的動(dòng)力學(xué)模型，對分析確定機器人末端抖動(dòng)的根源至關(guān)重要，同時(shí)可為后續優(yōu)化控制提供基礎^[6]。此外，提高機器人柔順性具有廣闊的應用前景，但柔性動(dòng)力學(xué)模型建立及其控制也存在一定挑戰性^[7]。

本文首先建立了基于Kane 方法的傳統剛性動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)對機器人系統的關(guān)節耦合特性進(jìn)行研究，分析了該模型缺陷和潛在導致系統不穩定及末端抖動(dòng)原因，針對此問(wèn)題對剛性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)；考慮關(guān)節柔性因素提出基于Kane 方法的工業(yè)機器人系統柔性動(dòng)力學(xué)模型，旨在更準確反映機器人機電系統的固有特征，提高前饋控制準確性，從而改善系統控制特性。

1   機電系統動(dòng)力學(xué)模型建模方法

理想情況下，機電系統認為是剛性動(dòng)力學(xué)系統，控制如圖1 所示。

圖1 剛性動(dòng)力學(xué)系統（機電系統）

基于剛性動(dòng)力學(xué)模型基礎，根據圖2 工業(yè)機器人關(guān)節運動(dòng)狀態(tài)，考慮關(guān)節柔性因素，可改進(jìn)為柔性動(dòng)力學(xué)模型。

動(dòng)力學(xué)建模目前有許多較為成熟的方法可供使用，較為常用的包括：Newton-Euler 方法；Lagrange 方程；Kane 方法。這些方法思路不同，但均可根據動(dòng)力學(xué)普遍方程相互轉化，在本文采用Kane 方法進(jìn)行研究，可建立如下形式方程：

MX+CX+KX=F

2   基于Kane方法的剛性系統模型

2.1 剛性系統模型

Kane 方法基于偏速度與偏角速度的概念，即運動(dòng)過(guò)程中某一位置點(diǎn)與廣義坐標的相對關(guān)系。剛性系統的動(dòng)力學(xué)模型可基于各個(gè)連桿的廣義主動(dòng)力與廣義慣性力獲取。

在工業(yè)機器人上選取各個(gè)關(guān)節轉角的廣義坐標，將各個(gè)連桿的角速度與線(xiàn)速度表示在其坐標系中，構建DH 矩陣：

為簡(jiǎn)化后續的分析，在各個(gè)連桿上建立固結于連桿的坐標系，并將各個(gè)連桿的運動(dòng)學(xué)參數在局部坐標系中表示。

● 連桿角速度

● 連桿角加速度

● 連桿線(xiàn)速度

● 連桿線(xiàn)加速度

● 連桿質(zhì)心的速度

在Kane 方法中，需要引入偏速度的概念

● 連桿偏角速度

● 連桿偏速度

在動(dòng)力學(xué)廣義慣性力為連桿旋轉的慣性力，可表示為：

其中，

對每一個(gè)自由度應用Kane 方程，可得：

從而可得動(dòng)力學(xué)方程：

對于剛性模型的動(dòng)力學(xué)方程，q 為電機輸出的轉角，因此關(guān)于q 的信息已知，通過(guò)給定的運動(dòng)，可以獲知給定狀態(tài)下的電機扭矩。

剛性動(dòng)力學(xué)模型在給定的關(guān)節轉速下，可以確定末端的位置姿態(tài)以及關(guān)節扭矩，可作為動(dòng)力學(xué)前饋控制基礎，用于提升機器人控制的精度和響應。但由于運動(dòng)中擾動(dòng)的存在以及動(dòng)力學(xué)建模中不可避免的誤差，實(shí)際的機器人控制系統不能完全依賴(lài)于動(dòng)力學(xué)模型，而需要進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋控制。且理想的剛性連接假設前提下，動(dòng)力學(xué)模型忽略了關(guān)節非線(xiàn)性因素，將引發(fā)機器人系統在部分位姿控制中產(chǎn)生諧振及動(dòng)態(tài)響應遲滯現象，進(jìn)而導致系統不穩定及末端抖動(dòng)。

2.2   關(guān)節柔性模型

當考慮關(guān)節柔性時(shí)，各個(gè)連桿的遞推關(guān)系為：

● 連桿角速度

● 連桿線(xiàn)速度

● 連桿線(xiàn)加速度

● 連桿質(zhì)心的速度

當考慮關(guān)節柔性時(shí)，各個(gè)連桿的偏速度可表示為：

● 連桿偏角速度

● 連桿偏速度

● 連桿質(zhì)心偏速度

與剛性模型相比，利用Kane 方法得到的各個(gè)自由度的方程針對于連桿在彈簧變性后的轉角，針對電機輸出的自由度：

● 廣義慣性力

● 廣義主動(dòng)力

利用Kane 方程可建立考慮關(guān)節柔性系統的動(dòng)力學(xué)模型：

所導出的方程為12 個(gè)2 階微分方程，當考慮關(guān)節柔性的影響時(shí)，原有的微分方程將轉變?yōu)椋?/p>

此時(shí)的微分方程組為時(shí)變微分方程，需要進(jìn)行數值求解。由該方程的形式可知，該方程為時(shí)變非線(xiàn)性微分方程，其系數矩陣中，質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣均為坐標的函數，這使得該方程難以得到解析解，可以使用的Newmark-β 方法，進(jìn)行求解，具有二階精度。

目前這一探索性研究已應用于工業(yè)機器人機電系統的動(dòng)力學(xué)模型構建，與伺服控制實(shí)際應用具有吻合性。這一柔性動(dòng)力學(xué)建模方法在控制領(lǐng)域的意義在于，可將這一方法應用于高速高精度應用場(chǎng)景的機器人軌跡控制，特別是要求低振動(dòng)的平穩軌跡應用，例如切割、涂膠等，這在實(shí)際工程中是常見(jiàn)的。

3   結論

本文通過(guò)建立了工業(yè)機器人剛性動(dòng)力學(xué)模型，作為動(dòng)力學(xué)前饋控制基礎，用于提升機器人控制的精度和響應，并分析了該模型忽略關(guān)節非線(xiàn)性特性帶來(lái)的潛在問(wèn)題。針對剛性動(dòng)力學(xué)模型潛在問(wèn)題，考慮關(guān)節柔性因素，推導出關(guān)節柔性動(dòng)力學(xué)模型，此模型更接近機器人真實(shí)固有特性，可實(shí)現機器人更高精度和更高帶寬的動(dòng)態(tài)控制，降低末端抖動(dòng)并提高系統穩定性。通過(guò)Kane 方法推導建立數學(xué)模型，論證了其可行性，為類(lèi)似機電系統建模提供指導。

參考文獻：

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[2] 江蘇集萃復合材料裝備研究所有限公司.一種基于動(dòng)力學(xué)模型的骨科手術(shù)機器人控制方法:CN202110318897.2[P].2021-06-18.

[3] 陳柏,謝本華,丁力,等.一種帶負載工業(yè)機器人動(dòng)力學(xué)模型辨識方法[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報,2016,48(6):835-840.

[4] 陳永剛,樊開(kāi)夫,譚晶晶,等.工業(yè)六軸機器人末端抖動(dòng)的研究[J].實(shí)驗室研究與探索,2019,38(12):44-47.

[5] 張鐵,張愛(ài)民,覃彬彬,等.柔體動(dòng)力學(xué)模型的機器人柔性力矩前饋控制[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報,2019,40(8):1509-1516.

[6] 哈爾濱工業(yè)大學(xué).一種基于動(dòng)力學(xué)的噴涂機器人時(shí)間最優(yōu)軌跡規劃方法:CN202110482412.3[P].2021-07-09.

[7] 康榮杰,劉躍,耿仕能,等.絲驅動(dòng)連續型機器人的建模與避障控制[J]. 天津大學(xué)學(xué)報,2021,54(6):651-660.

（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2022年3月期）