基于狀態(tài)變量摩擦模型的振動(dòng)控制*

*基金項目：2020年產(chǎn)業(yè)技術(shù)基礎公共服務(wù)平臺——工業(yè)機器人核心關(guān)鍵技術(shù)驗證與支撐保障服務(wù)平臺建設項目（2020-0097-1-1）

作者簡(jiǎn)介：梁學(xué)修（1987—），男，山東青島人，博士，研究方向為智能檢測與控制。

0   引言

非線(xiàn)性摩擦是影響工業(yè)機器人低速運動(dòng)性能的主要因素之一，機器人關(guān)節摩擦力會(huì )使機器人產(chǎn)生跟蹤誤差，帶來(lái)極限環(huán)振蕩、滯滑運動(dòng)等問(wèn)題^[1]。為此，對機械臂的非線(xiàn)性摩擦建模與補償研究成為工業(yè)機器人控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)^[2-6]。為了解決關(guān)節摩擦力的問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗總結出了各種摩擦力模型。建立機器人關(guān)節摩擦模型是實(shí)現摩擦力實(shí)時(shí)補償的核心步驟。摩擦的時(shí)變、強非線(xiàn)性等性質(zhì)，使得精確建立摩擦力的模型幾乎無(wú)法實(shí)現。工程中使用的靜態(tài)摩擦模型和動(dòng)態(tài)摩擦模型^[7]也僅僅是摩擦力模型的一種近似模型。借助這種近似的摩擦力模型，只能在一定程度上消弱摩擦力的影響。在靜態(tài)摩擦模型中，應用最廣泛的是圖1 中的Stribeck 指數模型^[8]，該模型對真實(shí)摩擦力的擬合精度達80%。本文研究了在極低速度下如何實(shí)現穩定控制的問(wèn)題，通過(guò)摩擦建模，引入了考慮瞬態(tài)摩擦的狀態(tài)摩擦模型，通過(guò)基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程，完成了基于狀態(tài)摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩定性分析。

圖1 Stribeck模型

1   摩擦力模型

剛體材料之間通過(guò)潤滑劑潤滑時(shí)的特征摩擦- 速度曲線(xiàn)就是圖1 中所示Stribeck 曲線(xiàn)。通常由靜摩擦fs 、庫倫摩擦fc 和黏性摩擦構成。在相對運動(dòng)的方向沒(méi)有逆轉的條件下，接觸面穩定滑動(dòng)的摩擦力是速度的連續函數。這條曲線(xiàn)的斜率取決于材料的成分和它們之間的潤滑狀況。對于圓圈標記出的低速范圍，曲線(xiàn)存在一個(gè)陡峭的負斜率段，這一段正是本文將要討論的低速區摩擦- 速度曲線(xiàn)。

通常用于模型補償的摩擦- 速度曲線(xiàn)，包括Stribeck曲線(xiàn)，代表穩定滑動(dòng)的摩擦。摩擦力模型只依賴(lài)于當前的速度值。然而，摩擦實(shí)驗^[9]表明，摩擦也取決于過(guò)去的運動(dòng)歷史。

Sampson[10] 等人最早注意到摩擦力的這種現象?？紤]過(guò)去的運動(dòng)歷史，摩擦力模型f(t) 的函數關(guān)系可以表示為：

其中， V 為接觸面相對滑動(dòng)速度， σ n 為法向壓應力。也就是說(shuō)摩擦力不僅僅和當前時(shí)刻的速度V t ( ) 和法向壓應力σ n(t)有關(guān)，還和過(guò)去時(shí)刻的速度V (τ )和法向壓應力σ τ n( )有關(guān)。

本文考慮的狀態(tài)變量摩擦模型具有以下3 個(gè)特征（假設正應力恒定）：

●   依賴(lài)于速度的摩擦力穩定狀態(tài)；

●   依賴(lài)于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài)；

●   特征滑移距離。

依賴(lài)于速度的摩擦力穩定狀態(tài)就是摩擦力- 速度曲線(xiàn)。依賴(lài)于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài)就是速度的瞬時(shí)變化導致摩擦力在同一方向上的瞬時(shí)變化。第3 個(gè)性質(zhì)表示的是當速度突然變化時(shí)，摩擦力指數衰減到穩態(tài)的摩擦力- 速度曲線(xiàn)需要滑動(dòng)的距離。對于法向應力為常數的情況，狀態(tài)變量摩擦模型具有下面的摩擦力模型：

等式中θ_i表示狀態(tài)變量，這種形式表明，速度的突然變化不會(huì )引起狀態(tài)的突然變化，但會(huì )影響它的時(shí)間導數。穩定狀態(tài)的摩擦力- 速度曲線(xiàn)可以通過(guò)設置g_i為零，而后將狀態(tài)變量θ_i替換到函數f 中得到一個(gè)非常簡(jiǎn)單的包含單個(gè)狀態(tài)變量的摩擦模型：

L特征滑移距離( f0 ,V0) 對應于穩態(tài)摩擦- 速度曲線(xiàn)上任何合適的初始點(diǎn)。在這種情況下，穩態(tài)摩擦- 速度曲線(xiàn)為：

穩態(tài)摩擦- 速度曲線(xiàn)中常用速度指數項表示從靜摩擦到動(dòng)摩擦的過(guò)渡。一種包括庫侖摩擦和黏性摩擦的模型為：

其中c0,c1,c2,c4>0。狀態(tài)變量摩擦模型是專(zhuān)門(mén)為模擬摩擦的低速效應而設計的，而穩態(tài)摩擦模型是用來(lái)制定適應整個(gè)運行速度范圍的模型。

2   考慮摩擦的動(dòng)力學(xué)模型

圖2 關(guān)節模型

圖2 給出了一個(gè)具有代表性的機器人關(guān)節的動(dòng)力學(xué)模型， xm 和xl 分別代表電機和關(guān)節的位置， kp 代表關(guān)節剛度或是控制增益，kv 代表附加阻尼，m是連桿質(zhì)量，f 則代表關(guān)節摩擦模型。位置控制的動(dòng)力學(xué)方程：

不考慮擾動(dòng)d(t)的情況下，由于關(guān)節摩擦f的原因，機器人在穩定運行狀態(tài)下會(huì )產(chǎn)生恒定的偏置在考慮擾動(dòng)d(t)的情況下，連桿的速度存在微小的偏置最終的擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：

3   穩定性分析

假設法相正應力恒定，考慮依賴(lài)于當前速度和滑動(dòng)歷史的摩擦定律：

假設摩擦力f t ( ) 可以被分離為1 個(gè)瞬態(tài)分量和1 個(gè)穩態(tài)分量。后者趨向于在特定速度下滑移足夠距離時(shí)的穩態(tài)值。在本文討論的低速區，穩態(tài)摩擦- 速度曲線(xiàn)的斜率是負值，也即

依據Rice and Ruina^[11]，用脈沖響應表示f(t) 在平衡點(diǎn)附近的線(xiàn)性化行為，摩擦力模型可以表示為：

認識到速度的直接影響是一個(gè)脈沖函數，可以把它從卷積積分中提取出來(lái)，

結合這個(gè)方程，摩擦力關(guān)于速度的瞬態(tài)變化率為：

摩擦力關(guān)于速度的穩態(tài)變化率為：

實(shí)驗表明^[11]，摩擦與速度的瞬態(tài)關(guān)系為正，也即fv > 0 。對于負斜率的穩態(tài)摩擦曲線(xiàn)，

為保證摩擦力是單調遞減的，g(t) 需要滿(mǎn)足條件：

將式（13）代入式（9），得到關(guān)節的動(dòng)力學(xué)方程為：

做拉普拉斯變換，得到：

3.1 考慮當前速度摩擦力模型的穩定性分析

考慮簡(jiǎn)單情況的摩擦律f=f(V(t))，即不考慮過(guò)去的運動(dòng)對摩擦模型的影響，也即：

穩定性是由X (s)的極點(diǎn)位置決定的，在這種簡(jiǎn)單的情況下考慮下面等式的取值：

由于m > 0，如果就會(huì )發(fā)生不穩定性。如果摩擦系數fv 在V0 處斜率為負，需要附加阻尼kv 實(shí)現穩定， 可以選擇的最小值， 對于0 <V <Vmax ，以實(shí)現整個(gè)速度范圍內的漸進(jìn)穩定。在這個(gè)線(xiàn)性分析中，對kp 的唯一要求是kp > 0 。

例如，考慮下面的摩擦力形式：

在這種情況下：

如果fv < 0 ，則需要一個(gè)正的kv 來(lái)穩定系統。令可得為了滿(mǎn)足漸進(jìn)穩定的條件，附加阻尼系數需要滿(mǎn)足，其中：

3.2 狀態(tài)變量摩擦力模型的穩定性分析

分析使式（19）穩定需要的控制增益?？紤]下面等式的根：

下面考慮kp 的所有可能取值：

①當kp →∞。由于G(∞) = 0，解的實(shí)部為：

由于fv 和kv都是正的，故而Re(s) < 0恒成立。因此，kp → ∞ 條件下，等式（25）始終能夠保持穩定；

②當kp = 0，考慮方程 ?？紤]到式（27），此方程對于小的s 是負的，對于大的s 是正的，故此時(shí)系統無(wú)法保持穩定。

③考慮上述內容，當kp 從零到無(wú)窮，存在一個(gè)根或1 對根穿過(guò)虛軸。將s = 0 和s = ∞ 代入等式（25），因為m 、fv 、kv 和kp 都是正的，可知方程無(wú)解。因此解如果存在，其只能是一對虛根±iω ，且和kp 的臨界值k_cr 有關(guān)：

將上述方程分解為實(shí)部和虛部，得到ω 和kcr 的方程：

使用我們的假設g(t)≥0，并得到

我們發(fā)現式（30）只有在滿(mǎn)足下面條件的時(shí)候才有解：

穩定性結果總結如下：

對于考慮摩擦律f = f [V (t)]的動(dòng)力學(xué)模型，漸近穩定的條件為：

對于考慮摩擦律 f = f [V (τ )]， 0 <τ < t 的動(dòng)力學(xué)模型，漸近穩定的條件為：

這樣可以依據式（32），根據僅考慮當前速度的摩擦力模型，選擇合適附加阻尼kv 來(lái)保證動(dòng)力學(xué)系統的穩定性?？梢砸罁剑?3），根據同時(shí)考慮過(guò)去運動(dòng)狀態(tài)和當前速度的狀態(tài)變量摩擦模型，選擇合適的k k v p 、來(lái)保證系統的穩定性，而k k v p 、就是系統的控制參數。

4   結束語(yǔ)

實(shí)現穩定的低速度運動(dòng)能力對機器人和任何涉及精細定位或力控制任務(wù)的機器來(lái)說(shuō)都非常重要。然而，在實(shí)際應用中，高度非線(xiàn)性的摩擦力會(huì )產(chǎn)生一個(gè)最小的穩定速度，低于此速度就會(huì )發(fā)生粘滑，嚴重限制機器人位置和力控制的精度。此外，滯滑摩擦力引起極限環(huán)是機械振動(dòng)的一個(gè)主要誘因。

本文研究了用狀態(tài)變量摩擦模型表示低速運動(dòng)中的瞬態(tài)摩擦，并提出了基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩定性證明，依據穩定證明給出了控制參數設置的合理指導。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年5月期）