論頻譜中負頻率的物理意義

本文討論了信號經(jīng)過(guò)傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著(zhù)重于負頻率成分。許多信號與系統的教材中，都認為負頻率成分沒(méi)有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號，從中也可鮮明地看出負頻率成分的意義。

1.負頻率與復信號

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號在一個(gè)平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒(méi)有任何差別，這是人們對負頻率的意義產(chǎn)生疑問(wèn)的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉參數。

2.復信號與實(shí)信號的頻譜

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來(lái)做傅立葉變換所得的結果也是前者全面，后者片面。對實(shí)信號做傅立葉變換時(shí)，如果用指數為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(cháng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號為零?？梢?jiàn)必須有負頻率的向量存在，才可能構成純 粹的實(shí)信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻[1]中給出了動(dòng)畫(huà)，并給出了正、負數字頻率的幾何解釋。

3.雙邊頻譜的工程應用

正余弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價(jià)值。

1)二相異步電機的設計

根據這個(gè)概念，可以用兩路在空間正交的實(shí)信號來(lái)構成旋轉電磁場(chǎng)，設計電動(dòng)機。上面給出了單位余弦波在正負兩個(gè)頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線(xiàn);同樣，單位正弦波在同樣正負兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線(xiàn)，不過(guò)它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

如果把正弦和余弦兩個(gè)信號的正頻率成分設計得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負頻率成分，它就構成一個(gè)單純負向旋轉的電信號。為此可以把正弦信號在空間上轉動(dòng)π/2，使它的正頻率譜線(xiàn)恰好與余弦信號的正頻率譜線(xiàn)反向，這樣兩個(gè)信號的合成(見(jiàn)圖3(b))就成為一個(gè)只有負頻率譜線(xiàn)的信號，當然它在時(shí)域必然是復數信號。常用的二相異步電機就是這樣負向轉動(dòng)的。而要使該電機正轉，則要使兩者的負頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。

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