論頻譜中負頻率的物理意義

2)通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換

實(shí)信號的雙邊頻譜是對稱(chēng)的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負頻率成分，實(shí)際占的頻譜區域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節省頻帶，人們就發(fā)明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負頻率頻譜移相90°，然后再將這個(gè)信號移相90°與原信號相加，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構成一個(gè)沒(méi)有負頻率頻譜的復信號,(如同上面所說(shuō)的二相異步電機那樣)。這個(gè)復信號的帶寬就只占 W 了。用這個(gè)方法，使頻帶節約了一半。在這里，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時(shí)。

它是不可或缺的部分。另外，也看到負頻率成分與復信號的密切關(guān)系。

3)產(chǎn)生任意的平面運動(dòng)軌跡

文獻[5]曾提出根據傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運動(dòng)軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實(shí)表示了多個(gè)頻譜旋轉向量的合成，這些向量的頻率規定了它信號的實(shí)部，在 y軸上的投影是信號的虛部。

不難設計出一個(gè)程序來(lái)演示這個(gè)過(guò)程，在[2,3]中編寫(xiě)了一個(gè)MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個(gè)集總頻譜合成起來(lái)。假如給出這些頻譜分量如下：

a(1) = 1， ω(1) = 1; a(2) = 1， ω(2) = -1; a(3) = 0.5，ω(3) = 3;a(4) = 0.5，ω(4) = -4;

在此處，為了顯示復信號，有意把輸入頻譜設成不對稱(chēng)的，見(jiàn)圖5(d)。于是讀者將看到四節桿的運動(dòng)動(dòng)畫(huà)，并得到桿系及其末端在復平面上的軌跡(圖4)，改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫(huà)在圖5(b)和(c)中，就得到信號與系統課程中常見(jiàn)的實(shí)信號曲線(xiàn)。

輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數，甚至可以是復數，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位;頻譜的頻率則只能是有正負號的實(shí)數，正頻率和負頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗。例如當兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí)，得到的是周期信號，如果頻率比是無(wú)理數，那將得出非周期的信號;另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。

總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時(shí)域信號與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。

4)多普勒頻率

多普勒頻率又是一個(gè)負頻率的實(shí)例，如果信號的發(fā)射源向我們運動(dòng)而來(lái)，那么多普勒頻率就是正頻率;如果信號的發(fā)射源向我們遠離而去，那么多普勒頻率就是負頻率，在這里正負頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現為合成信號的包絡(luò )頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負。要得到負頻率，必須從復信號域考慮?？梢?jiàn)，不懂得這一點(diǎn)，就無(wú)法找到多普勒測速的原理框圖。

5)機械工程領(lǐng)域的應用

關(guān)于二維信號的傅立葉變換，國內早已有學(xué)者將其應用于工程領(lǐng)域，參見(jiàn)文獻[4]、 [5]。這些都是說(shuō)明頻譜中負頻率物理意義的實(shí)際例證。

4.在對負頻率認識中存在的問(wèn)題

頻譜中負頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實(shí)信號平面內研究問(wèn)題的局限性。因為在信號與系統課程中研究的信號通常只限于實(shí)信號。從實(shí)信號的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉向和正負，頻率只能表現為每秒信號重復的次數。分不清正負就以為是正頻率，只是一種習慣性的思維方法而已。

歸根到底，轉角和頻率的正負，必須在x-y平面或二維信號中才能觀(guān)察到。因為觀(guān)察的方法不對，看不到其意義，從而否認它的存在，這是認識論上的錯誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說(shuō)的那樣，摸象腿的人否認象有鼻子，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿(實(shí)信號域)上找到象鼻子(負頻率)，當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度，摸別的部位(復信號域)，才能得到全面的知識。

某些學(xué)者不承認負頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數”的陳舊概念絕對化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數的概念只能粗糙地研究信號外部形態(tài)，無(wú)法涉及信號每周期內部的細微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄(或發(fā)展)了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實(shí)頻率的概念還在繼續發(fā)展，進(jìn)入到數字信號處理時(shí)又進(jìn)一步出現了數字頻率，它的單位是弧度(去掉了分母上的“秒”)，取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉過(guò)的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說(shuō)明。如果停留在“每秒次數”的舊概念上，那“數字信號處理”也就無(wú)法發(fā)展了。

5.從認識論角度糾正對負頻率的錯誤說(shuō)法

這個(gè)問(wèn)題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽(tīng)“信號與系統”課程時(shí)，在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜，負頻率只有數學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”的提法。我們覺(jué)得這是個(gè)錯誤，而且恐怕不是個(gè)別老師的想法?；貋?lái)一查，果然如此，很多相當權威的主流教材上都這么寫(xiě)。

其實(shí)，“×××只有數學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”這樣的“命題”誰(shuí)也沒(méi)有證明過(guò)，也是無(wú)法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例，說(shuō)明它是完全錯誤的。教師絕不該把錯誤的猜想說(shuō)成真理，更不能寫(xiě)在書(shū)上和幻燈片上去誤導學(xué)生。數學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時(shí)還認識不到數學(xué)定理的物理意義。數學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現的現象，比如虛數、非歐氏幾何等。這時(shí)應該努力去理解它，認識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒(méi)想通，沒(méi)找到的事物，不能說(shuō)它不存在。給學(xué)生講課時(shí)，只能說(shuō)“我們目前還沒(méi)有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴肅和謙遜，也有助于培養學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng )新精神。

6.結束語(yǔ)

討論這個(gè)問(wèn)題，不僅是理論上的探討，對于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開(kāi)發(fā)頻譜資源的結果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫的時(shí)候，我們要引導他們對這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個(gè)寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問(wèn)，輕率地、毫無(wú)根據地一句話(huà)就把頻譜的負頻率半邊扔掉了。在入門(mén)的時(shí)候，當然不可能把本文說(shuō)的概念統統灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會(huì )具備更多的想象力和創(chuàng )造性。