精通信號處理設計小Tips（8）：檢測淹沒(méi)在噪聲中的信號

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司無(wú)線(xiàn)通信部門(mén)，擁有多年的工程項目研發(fā)經(jīng)驗，同時(shí)兼備算法理論研究，仿真驗證，以及對應的硬件設計實(shí)現能力；具備通信物理層開(kāi)發(fā)設計各個(gè)方面的實(shí)戰經(jīng)驗...

　　相關(guān)函數的應用很廣，比如噪聲中信號的檢測，信號中隱含周期性的檢測，信號時(shí)延長(cháng)度的測量等等。這一節專(zhuān)門(mén)討論利用自相關(guān)函數檢測淹沒(méi)在噪聲下的周期性信號。

　　一個(gè)信號，由于噪聲的影響，從波形上看，已經(jīng)面目全非，雜亂不堪。如下圖所示：

　　基于信號的自相關(guān)累積可以檢測是否有周期信號的存在，這是基于幾個(gè)前提：

　　第一，通常把噪聲都看作加性的白噪聲對待，因為這種噪聲從理論上便于分析和處理。而白噪聲的自相關(guān)函數有著(zhù)非常獨特的個(gè)性，就是自相關(guān)函數只在時(shí)有一定的數值，在則為零值。這是白噪聲本身的完全隨機性決定的。也正是基于這個(gè)性質(zhì)，我們才有可能從強噪聲背景中提取出我們感興趣的信號。

　　第二，周期信號的自相關(guān)函數，仍是周期函數，并且周期和原函數周期相同。這從自相關(guān)函數的定義可以很容易推導出來(lái)。

　　第三，白噪聲和周期信號完全不相關(guān)，白噪聲的完全隨機性導致它和任何函數都不相關(guān)戀。它們之間的互相關(guān)函數可認為是零。這是很多理論推導的一個(gè)前提。

　　基于自相關(guān)函數的定義，我們可以從公式上做一下簡(jiǎn)單的推導，看看添加了噪聲后的信號的自相關(guān)函數到底是什么樣子。假定我們的信號為，白噪聲信號為，則添加了白噪聲的信號為。

　　那么，基于上面的三個(gè)前提，我們可以把的自相關(guān)函數表示成如下的形式。公式推導看上去很麻煩，其實(shí)一步一步都有嚴格的規律和理由，認真觀(guān)察和分析，可以增進(jìn)對自相關(guān)函數和互相關(guān)函數的理解，也可以加強公式推導的基礎能力。

也就是說(shuō)，

　　理論公式非常嚴密但不直觀(guān)。還是找個(gè)實(shí)際例子驗證下吧。構造一個(gè)正弦波周期信號和白噪聲信號，看看它們疊加后的信號的自相關(guān)函數到底是個(gè)什么樣子。

　　自相關(guān)函數在0位置是一個(gè)相對較大的數值，這是白噪聲自身相關(guān)累積導致的。在非零位置，則完全由周期信號來(lái)決定了。

　　相應的matlab仿真驗證代碼如下，

　　fs = 5e3;

　　n = 0:1/fs:1;

　　len = length（n）;

　　freq = 100;

　　s = sin（2*pi*freq*n）;

　　n = randn（1，len）;

　　x = s + n;

　　rr = xcorr（x，‘unbiased’）;

　　figure，subplot（121），plot（x）;TItle（‘ÐźÅʱÓòµÄ²¨ÐÎ’）;

　　subplot（122），plot（rr）;TItle（‘ÐźŵÄ&TImes;ÔÏà¹Øº¯ÊýµÄ²¨ÐÎ’）;

　　值得說(shuō)明的是，相關(guān)函數采用matlab工具箱提供的函數xcorr，它有兩種計算方式，一種叫“biased”，即有偏的。一種叫“unbiased”，即無(wú)偏的。這是由于實(shí)際計算相關(guān)函數時(shí)，實(shí)際數據的長(cháng)度總是有限的，那么隨著(zhù)相關(guān)函數中m的增大，相關(guān)累積求和的樣點(diǎn)數是逐漸減小的，當采用上面提到的自相關(guān)函數計算公式時(shí)，統一都除以N，導致相關(guān)函數隨著(zhù)m的增大會(huì )線(xiàn)性減，這就是有偏的計算方式，意思是計算值的統計上的均值和實(shí)際值之間并不一致，存在一定的偏差。這種計算方式導致當m的絕對值接近實(shí)際采集信號長(cháng)度N時(shí)，誤差會(huì )變得越來(lái)越大。若是把m的增大導致累積樣點(diǎn)減少這個(gè)因素考慮進(jìn)去，不再統一除以N，而是除以N-m，則相關(guān)函數不再會(huì )產(chǎn)生線(xiàn)性減小的問(wèn)題，這就對應代碼中的無(wú)偏的計算方式。

下期開(kāi)講——精通信號處理設計小TIps（9）：估算信號在模擬通道的延時(shí)，敬請關(guān)注！

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