基于CORDIC算法的光相位檢測及FPGA實(shí)現

當前，非接觸式測量已經(jīng)逐漸取代接觸式測量，成為測量發(fā)展的方向。而在各種各樣的非接觸式測量方法中，光纖干涉投射技術(shù)測量物體表面形貌的方法，由于其光路具有柔軟、形狀可變、傳輸距離遠、抗干擾能力強等優(yōu)點(diǎn)，得到了越來(lái)越廣泛的應用，尤其在各種有強電磁干擾、易燃易爆等惡劣環(huán)境中，光纖干涉投射測量技術(shù)更是有著(zhù)很高的應用價(jià)值。

在光纖干涉投射技術(shù)中，裸露在空氣中的光纖容易受到溫度、振動(dòng)的影響，使臂長(cháng)差發(fā)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生光相位的變化，導致干涉條紋漂移，從而影響到測量的精度[1]。交流相位跟蹤零差補償技術(shù)（PTAC）是實(shí)現光纖相位變化檢測和誤差補償的一種關(guān)鍵技術(shù)[2]，其中涉及信號解調和相位求解，求解反正弦是相位求解的一種主要方法[2]。在FPGA中，傳統的求解反正弦函數的主要方法是查找表法[3]，查找表數據量的大小和精度緊密相關(guān)，在高精度下，查找表法需要大量存儲單元，另外也需要校正算法來(lái)計算未計入表中的點(diǎn)，這樣就對處理器資源提出很高的要求。

針對傳統反正弦函數求解方法的缺點(diǎn)，本文采用CORDIC算法求解反正弦值，得到光相位變化并在FPGA中設計了CORDIC算法實(shí)現的流水線(xiàn)結構，從而達到了對光相位變化的實(shí)時(shí)檢測。同時(shí)，提出采用查找表配合拋物線(xiàn)插值校正算法解決CORDIC算法在運算中存在的“死區”問(wèn)題。通過(guò)實(shí)驗驗證該了方法的可行性。

1 系統結構

光纖干涉投射系統由激光器、聚焦透鏡和3 dB耦合器等組成。激光器發(fā)出的激光經(jīng)過(guò)聚焦透鏡耦合到光纖，經(jīng)3 dB耦合器分光后由兩光纖臂輸出。兩光纖輸出端可被看作是楊氏雙孔干涉中的兩個(gè)小孔，其輸出光由同一點(diǎn)光源發(fā)出，頻率相同，具有恒定的相位差，滿(mǎn)足楊氏雙孔干涉條件，從而在輸出端產(chǎn)生干涉條紋。在實(shí)際測量中，溫度、振動(dòng)的影響使光纖發(fā)生臂長(cháng)差變化，從而使光相位發(fā)生變化，導致干涉條紋漂移。為解決這一問(wèn)題，通過(guò)PTAC對光相位進(jìn)行調制解調得到光相位變化信息并對相位誤差進(jìn)行補償。

如圖1所示，光纖干涉投射交流相位跟蹤零差補償系統由激光器、聚焦透鏡、3 dB耦合器、PZT和信號調理等部分組成。兩輸出臂分別纏繞在兩個(gè)PZT上，一路作為信號臂對光相位進(jìn)行調制，另一路用作控制和補償。兩條輸出臂投射端面存在反射，反射的光返回到3 dB耦合器中發(fā)生干涉，構成馬赫-澤德干涉儀[4]，干涉的光由光電探測器PD接收。信號臂反射回耦合器的光包含光相位調制信息，同時(shí)也存在著(zhù)由環(huán)境影響產(chǎn)生的光相位變化信息。兩束反射光在耦合器中發(fā)生干涉，則光相位調制信息轉化為光強變化，再由光電探測器將光強變化轉化為電信號。

經(jīng)過(guò)AD轉換后，輸入FPGA進(jìn)行計算，通過(guò)求解反正弦求出?琢。改變驅動(dòng)器的直流偏置，即改變待測鏡和參考鏡的相位差?琢。再經(jīng)過(guò)數模轉換、高壓放大，通過(guò)控制PZT2調整另一輸出臂的長(cháng)度，使兩光纖臂相位差保持為一正弦函數，消除溫度振動(dòng)等環(huán)境因素帶來(lái)的影響。

2 反正弦算法實(shí)現

2.1 反正弦算法原理

基于CORDIC算法計算反正弦。數字信號處理中常常會(huì )遇到求解超越函數的問(wèn)題，如求解矢量旋轉、反三角函數運算、雙曲函數等，CORDIC是為了這些問(wèn)題而提出的[5]。CORDIC基本思想是用一組確定的角度不斷擺偏去逼近所求的角度，而這一組角度與運算基數（2i）有關(guān)。在硬件電路中，CORDIC運算可以只通過(guò)加減操作和移位操作實(shí)現，大大節約了資源。CORDIC算法可由式(3)、(4)、(5)、(6)給出[6]。其中，(xi，yi)是矢量的坐標，zi為剩余未旋轉的角度。


2.2 反正弦程序設計

2.2.1 字長(cháng)設計

輸入值范圍為[-1，1]，輸入FPGA的初值c為12位。選第一位為符號位，第二位為整數位，后10位為小數位。在FPGA中，使用浮點(diǎn)形式計算小數比較復雜，因此，將小數部分左移10位，化成定點(diǎn)形式運算。CORDIC的計算次數取決于xi、yi的小數位數。如式(8)，用yi與輸入初值c比較，如果yi的小數位為10位，則最多進(jìn)行10次CORDIC計算，精度很難保證。因此，設計xi、yi的小數位為22位，在c后面補0，補足22位小數位，則最多可進(jìn)行22次CORDIC計算。因為z的值域范圍為[-1.570 8 rad，1.570 8 rad]，將z設計成25位，z[24]為符號位，z[23:22]為整數位，z[21:0]為小數位。

2.2.2 實(shí)現結構的設計

在FPGA中，CORDIC的實(shí)現結構可以選擇迭代結構或流水線(xiàn)結構。迭代結構是直接由公式寫(xiě)出循環(huán)語(yǔ)句，處理完當前數據才可以處理下一個(gè)數據，缺點(diǎn)是效率低。本設計采用流水線(xiàn)結構，流水線(xiàn)結構在數據處理的同時(shí)，還能繼續輸入和處理后續數據，提高了數據吞吐率。此外，設計中采用前端數據處理加22級CORDIC計算加后端處理，第一個(gè)數據需要24個(gè)時(shí)鐘周期處理完畢，之后每個(gè)周期都可以輸出一個(gè)處理結果，可以顯著(zhù)提高數據處理速度。

2.2.3 CORDIC結構

本設計總共有22級CORDIC計算模塊，第i級CORDIC計算模塊如圖3所示。yi與|ci|比較，決定di的值，再根據式(7)來(lái)計算xi+1、yi+1、zi+1，同時(shí)傳遞輸入值的符號位，在流水線(xiàn)的后端處理模塊處理。若輸入c[11]為1，則結果為-arcsinc；若輸入c[11]為0，則結果為arcsinc。


3 算法校正

輸入數據范圍為[-1，1]，將計算結果與真實(shí)結果比較，得到誤差分布如圖4所示。

由圖4可見(jiàn)，在橫坐標絕對值為0.6、0.8、0.9附近出現較大誤差，最大誤差達到10-1數量級。CORDIC算法使用的是一種數值計算逼近的思想，增減的步長(cháng)值是離散的，為arctan(2i)。在橫坐標絕對值為0.3、0.6、0.8、0.9附近，CORDIC計算存在“死區”。本文采用查找表和拋物線(xiàn)插值校正，在誤差值較大的區間[c1，c3]，令：

在前端數據處理中判斷輸入值是否在需要校正的區間，若在則進(jìn)行拋物線(xiàn)插值校正。用少量查找表存儲校正區間端點(diǎn)的反正弦值和分母的比值。選用FPGA為32 bit，在其中設計乘法運算時(shí)，乘數和被乘數最高為16 bit才不會(huì )使數據溢出。在所有拋物線(xiàn)插值校正系數中，區間[0.95，0.96]上拋物線(xiàn)插值校正的一次項系數最大為22.108 9。因此選擇高5位為整數位，低11位為小數位進(jìn)行運算。

4 實(shí)驗與仿真

CORDIC程序流程圖如圖5所示，初始化之后，先判斷輸入值c是否在需要校正的區間。若是，則進(jìn)入拋物線(xiàn)插值校正運算；否則進(jìn)行CORDIC運算，使x0=1/An，y0=0，z0=0。CORDIC運算計算出一個(gè)小數的反正弦值需要24個(gè)時(shí)鐘周期，為了保證流水線(xiàn)的機能，當輸入值c在需要校正的區間時(shí)，插值計算后的數據在CORDIC運算模塊中直接傳輸。計算出反正弦值后，判斷輸入值c的符號位，如果是0，則c為正數，反正弦值也為正數；如果是1，則c為負數，反正弦值也為負數。

仿真軟件采用ModelSim SE PLUS 6.2b。輸入的c值范圍為[-1，1]，存放在ModelSim的測試激勵文件中。處理一個(gè)數據需要24個(gè)時(shí)鐘周期，之后每個(gè)周期都能輸出一個(gè)數據，如圖6所示。

將仿真后的數據導入Matlab得到反正弦仿真曲線(xiàn)，如圖7(a)所示，并與理想值對比，得到如圖7(b)所示誤差曲線(xiàn)，CORDIC計算部分弧度值精度達到10-4數量級，經(jīng)過(guò)校正的部分，誤差從10-1數量級降到10-4數量級。
本設計采用流水線(xiàn)結構，提高了數據吞吐率。仿真實(shí)驗表明，光相位的誤差精度達到10-4數量級，精度較高，且具有較高的運算速度，適合大數據量高速處理。