基于壓電主動(dòng)桿的空間桁架自抗擾控制器設計

摘要：針對一種復雜的、較難建立精確模型的空間桁架，研究了其建模、主動(dòng)桿位置優(yōu)化及振動(dòng)控制的問(wèn)題。文中首先建立了空間桁架的機理模型。然后設計了壓電主動(dòng)桿，選取一種不依賴(lài)于控制律的基于能量的優(yōu)化準則，并基于所建立的模型對其在空間桁架中的安裝位置進(jìn)行了優(yōu)化。最后對于空間桁架這種并聯(lián)結構，設計了一種不依賴(lài)于被控對象精確模型的自抗擾控制器。仿真算例表明本文所設計方法的有效性。

1 引言

隨著(zhù)對太空探索的不斷深入以及我國空間光學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，人們對于太空中航天器的工作精度和穩定運行等方面的研究也越來(lái)越深入，特別是航天器中的撓性桁架結構。當有外界擾動(dòng)作用在桁架上時(shí)，由于桁架結構自身所具有的結構特性和太空中低阻尼環(huán)境等因素的原因，桁架結構易產(chǎn)生非期望的振動(dòng)，從而影響航天器的正常工作。因此對于航天器內桁架結構的振動(dòng)控制方面進(jìn)行研究具有重大現實(shí)意義。

目前，在桁架結構的控制問(wèn)題中，大多是將主動(dòng)構件內嵌于桁架結構中，從而構成智能結構，并以主動(dòng)構件為核心原件，對智能結構進(jìn)行控制。在主動(dòng)構件的選擇中，由于壓電材料所具有的質(zhì)量輕、響應快、低功耗等特點(diǎn)，因此被廣泛應用于空間桁架的振動(dòng)控制之中。本文以壓電材料為基礎，設計了壓電主動(dòng)桿。針對壓電主動(dòng)構件的位置優(yōu)化問(wèn)題，目前已有基于能控/能觀(guān)性的優(yōu)化準則、基于系統能量的優(yōu)化準則等、考慮到太空中能量較為珍貴，本文選擇了一種以最小驅動(dòng)電壓產(chǎn)生最大驅動(dòng)力的優(yōu)化準則。

目前對于桁架結構的主動(dòng)振動(dòng)控制已有多種方法，如正位置反饋控制、模態(tài)控制法、最優(yōu)控制、模糊控制等方法。但由于桁架結構具有較大的復雜性，獲得其精確的數學(xué)模型是較為困難的。因此本文選擇了一種不依賴(lài)于被控對象精確模型的自抗擾控制器，通過(guò)對本文中所建立的桁架模型進(jìn)行仿真實(shí)驗，驗證了自抗擾控制器的有效性。

2 空間桁架結構建模

所需控制的空間桁架節點(diǎn)編號如圖1所示：

所設計的結構主要由梁?jiǎn)卧M成，共有63根柔性梁，26個(gè)節點(diǎn)，其中底面的2、3、7、8節點(diǎn)為固定在地面的約束節點(diǎn)，激振力施加于底面的10號節點(diǎn)豎直方向?；谟邢拊姆椒?，可以獲得該結構的動(dòng)力學(xué)方程為：

通過(guò)求解式(3)所得出的，代回模態(tài)變換從而得出各節點(diǎn)位移。

3 壓電主動(dòng)桿設計及位置優(yōu)化

由于壓電材料具有正、逆壓電效應，是以其既可作為作動(dòng)器，也可作為傳感器，并且具有質(zhì)量輕、響應快、低功耗和易裝配等特點(diǎn)，因此其廣泛的應用于桁架結構的振動(dòng)控制中。

3.1 壓電主動(dòng)桿的設計

由于壓電片的壓電應變系數d33一般很小，因此單個(gè)壓電片所能輸出的位移非常小。而對于在實(shí)際工程應用中的主動(dòng)控制構件來(lái)說(shuō)，即需要具有能夠滿(mǎn)足需求的輸出位移量，同時(shí)也要求其能承擔住一定的壓力。而如果只通過(guò)一片壓電片，在輸入電壓受到限制的情況下，一般無(wú)法達到實(shí)際的需求。因此通過(guò)設計多個(gè)壓電片以力學(xué)上串聯(lián)、電學(xué)上并聯(lián)的方法堆疊在一起構成壓電堆，則可以克服較低電壓驅動(dòng)下單個(gè)壓電片位移過(guò)小的缺點(diǎn)，通過(guò)多個(gè)壓電片變形量的線(xiàn)性疊加，則可以使用較低的電壓，獲得較大的輸出位移，從而增加了輸出的位移量，滿(mǎn)足了實(shí)際的需求。

壓電堆的輸出位移為：

其中，δi為單個(gè)壓電片的輸出位移，n為壓電片的個(gè)數，l為厚度，是恒定電場(chǎng)下的彈性柔順系數，d33為壓電應變系數，Ks稱(chēng)為壓電堆的等效剛度，ds稱(chēng)為壓電堆等效壓電應變常數，F為軸向所受的力，V為軸向所施加的電壓，A為截面積。

采用180片壓電片疊加構成壓電堆，然后基于壓電堆，設計了壓電主動(dòng)桿，其結構圖如圖2所示。

壓電主動(dòng)桿的輸出位移和輸出力是進(jìn)行壓電主動(dòng)桿設計時(shí)所需考慮的重點(diǎn)內容。本文所設計的壓電主動(dòng)桿主要由壓電堆、直線(xiàn)軸承、鋼珠和外部包裝的鋼殼等幾部件構成。

壓電堆內部放置了碟片彈簧進(jìn)行預壓，使壓電堆始終工作在受壓狀態(tài)并保證其內部壓電片之間緊密相連。但是為了保證壓主動(dòng)桿內部各部件之間不存在間隙，還需要在主動(dòng)桿內部設計一個(gè)彈簧，以保證主動(dòng)桿內部各零件之間緊密接觸。同時(shí)，在壓電堆的一側使用鋼珠作為傳力裝置以保證壓電堆只會(huì )受到外部軸向載荷的作用，從而避免其可能出現承受彎曲載荷的情況。同時(shí)，為了減小輸出桿在運動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦，使用直線(xiàn)軸承內套輸出桿，以保證輸出桿靠近鋼珠端不會(huì )與主動(dòng)桿外殼接觸，并且在直線(xiàn)軸承內要保證足夠的光滑，以最大限度的減小軸向摩擦力。

3.2 主動(dòng)桿的優(yōu)化準則

由于在太空中，能源是比較珍貴的資源。所以對于剛架的控制希望是主動(dòng)桿的振動(dòng)控制能盡可能的節省電能。因此，總是希望主動(dòng)桿的安裝位置能夠保證其在使用盡可能小的驅動(dòng)電壓的情況下輸出最大的控制力。

在式(2)中，令：

A=φTBKv (5)

由上式可以看出，矩陣4是由模態(tài)矩陣φT、主動(dòng)桿的安裝位置矩陣B和主動(dòng)桿的性能矩陣Kv所組成。因此，矩陣A不僅與系統自身的模態(tài)相關(guān)，而且很大程度上會(huì )受到主動(dòng)桿的安裝位置和其致動(dòng)特性的影響，所以稱(chēng)A為主動(dòng)桿位置配置矩陣。令：

由上式可以看出，若λ的值越大，則表明模態(tài)控制力和控制電壓的比值也就越大，即表示使用的控制電壓較小時(shí)，可以產(chǎn)生的模態(tài)控制力較大，此時(shí)系統的作動(dòng)效率較高。所以當保證ATA的所有特征值都很大并且分布較為集中時(shí)，可以獲得較大的作動(dòng)效率。如此則可以得出作動(dòng)器的優(yōu)化準則為：

在上述的優(yōu)化準則中，前半部分是ATA所有特征值的算術(shù)平均值，后半部分是所有特征值的幾何平均值，求這兩項乘積的最大值就能得出一個(gè)特征值較大且分布集中的A。

3.3 遺傳算法優(yōu)化結果

使用遺傳算法對前面所得優(yōu)化準則進(jìn)行主動(dòng)桿的位置優(yōu)化，選取腓為遺傳算法的適應度函數。選擇使用三個(gè)主動(dòng)桿。優(yōu)化流程圖如圖3所示。

根據流程所示的過(guò)程，得出了在剛架中配置3個(gè)主動(dòng)桿時(shí)的最優(yōu)安裝位置如表1所示。圖4為遺傳算法優(yōu)化過(guò)程中最優(yōu)適應值的迭代過(guò)程圖。

4 自抗擾控制器

由于空間桁架結構模型較為復雜，很難獲得其精確的數學(xué)模型。而自抗擾控制器不依賴(lài)于被控對象的精確模型，并且對于擾動(dòng)能夠進(jìn)行很好的抑制，具有較強的魯棒性，因此非常適用于對空間桁架結構的控制之中。

圖5為自抗擾控制器的結構框圖，其主要由擴張狀態(tài)觀(guān)測器(ESO)和非線(xiàn)性誤差反饋控制率(NLSEF)組成。

4.1 擴張狀態(tài)觀(guān)測器

擴張狀態(tài)觀(guān)測器的核心思想是將系統的外部擾動(dòng)和內部建模不確定性等未知擾動(dòng)一起視作“總擾動(dòng)”，將此“總擾動(dòng)”擴張成為一個(gè)新的狀態(tài)變量，從而構建一個(gè)能夠觀(guān)測此擾動(dòng)變量的擴張狀態(tài)觀(guān)測器。

對于二階的非線(xiàn)性系統

式中f(x1，x2，ω)為系統外繞和內部未知因素的總合。將原二階系統中的f(x1，x2，ω)擴張成一個(gè)新的狀態(tài)變量x3，并記 ，即可得到系統新的狀態(tài)方程：

式中，β01、β02和β03等均為觀(guān)測器的參數，通過(guò)調節這三個(gè)參數，可以使得z1(t)→x1(t)、z2(t)→x2(t)和z3(t)→x3(t)。fal函數是為了避免在數值仿真時(shí)出現的高頻顫振而設計的冪次函數，此函數在原點(diǎn)周?chē)哂芯€(xiàn)性的特性，定義如下：

其中δ為線(xiàn)性區間的長(cháng)度。

4.2 非線(xiàn)性誤差反饋律

為了消除振動(dòng)，系統輸入的參考位移和速度均為0。根據擴張狀態(tài)觀(guān)測器輸出的狀態(tài)變量的估計值可以得到系統的位移誤差e1和速度誤差e2。從而設計的非線(xiàn)性誤差為：

u0=β1fal(e1，a1，δ)+β2fal(e2，a2，δ) (14)

4. 3 擾動(dòng)補償

將ESO估計的總擾動(dòng)z3(t)在控制律中予以補償可得：

將式(15)的控制量輸入到式(10)的二階非線(xiàn)性系統后，可以得到補償后的系統為：

在補償后的控制系統中，已經(jīng)沒(méi)有未知的擾動(dòng)項，并且將控制系統轉化為了簡(jiǎn)單的積分器串聯(lián)型的形式。

4.4 并聯(lián)系統自抗擾控制

將前面所建立的解耦后的剛架動(dòng)力學(xué)方程分解為下式，這種結構稱(chēng)為并聯(lián)系統結構。

對于不能夠精確確定的剛架結構各階固有頻率、阻尼比或其他一些不確定因素，可將這些不確定的部分認為是內部未知因素，從而可以將以上系統變換為：

式中的ω0和ξ0均為自己設計的已知參數。

對式(18)進(jìn)行變換，可得以y作為狀態(tài)變量的新系統模型為：

上式中前四項的參數均為已知的，是系統的已知部分、外界已知的激振力和系統的控制律，最后一項是系統未知的部分。

5 自抗擾控制的仿真曲線(xiàn)

使用壓電主動(dòng)桿對空間桁架進(jìn)行振動(dòng)控制，共使用了三個(gè)壓電主動(dòng)桿，1號主動(dòng)桿安裝位置為底面的節點(diǎn)3—10，2號主動(dòng)桿為側面的節點(diǎn)15—16以及3號主動(dòng)桿為頂部節點(diǎn)21—24。安裝好壓電主動(dòng)桿以后的空間桁架結構前10階固有頻率如表2所示。

選取底面10號節點(diǎn)的方向為激振點(diǎn)，選取的正弦激振力幅值為10，激振頻率與桁架結構的一階固有頻率相同，為54.9rad/s，這樣可以激起桁架結構模型的一階振動(dòng)模態(tài)，從而激起較大的振動(dòng)位移。并聯(lián)系統中的參數ω0=60，ξ0=0。

控制節點(diǎn)為三個(gè)主動(dòng)桿安裝位置所在的節點(diǎn)，分別為10號節點(diǎn)的x方向，16號節點(diǎn)的z方向和21號節點(diǎn)的y方向，另外選取19號節點(diǎn)的y方向作為觀(guān)測節點(diǎn)。

從圖6中可以看出，施加控制以后，在添加了主動(dòng)桿的三個(gè)連接節點(diǎn)可以獲得很好的減振效果，系統在受到外力時(shí)激起的振動(dòng)得到了有效的抑制，并且有效的抑制了19號節點(diǎn)在產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)的位移響應。四個(gè)節點(diǎn)的振動(dòng)位移均減少了近兩個(gè)數量級。

圖7和圖8分別為擴張狀態(tài)觀(guān)測器輸出的跟蹤位移和速度益線(xiàn)，從圖中可以看出，擴張狀態(tài)觀(guān)測器觀(guān)測獲得的三個(gè)控制節點(diǎn)的位移和速度曲線(xiàn)基本與原系統的速度和位移曲線(xiàn)一致，說(shuō)明了擴張狀態(tài)觀(guān)測器很好的跟蹤了原系統的狀態(tài)。

圖9為擴張狀態(tài)觀(guān)測器觀(guān)測得到的三個(gè)控制器的擾動(dòng)跟蹤曲線(xiàn)。由于在實(shí)際控制中，擾動(dòng)是不可被精確得知的，但由于擴張狀態(tài)觀(guān)測器對系統輸出的位移和速度的跟蹤效果很好，所以可以認為所設計的擴張狀態(tài)觀(guān)測器也能夠準確的跟蹤上總擾動(dòng)。

所施加的正弦擾動(dòng)幅值為30，頻率分別為50rad/s、200rad/s、600rad/s，在不同擾動(dòng)頻率下觀(guān)測獲得的四個(gè)節點(diǎn)控制曲線(xiàn)如圖10和圖11所示。

從圖10和圖11中可以看出，在控制輸入端增加了三種不同頻率的擾動(dòng)以后，控制器的控制效果依然很好。其中當輸入頻率為200rad/s和 600rad/s時(shí)，控制器的輸出基本和不添加擾動(dòng)時(shí)的一樣，僅在當擾動(dòng)頻率為50rad/s時(shí)，控制效果會(huì )相對于沒(méi)有擾動(dòng)時(shí)的控制效果略有變差，但仍然具有很好的振動(dòng)抑制作用。施加擾動(dòng)頻率為50rad/s時(shí)控制效果略有變差的原因是因為此時(shí)擾動(dòng)信號的頻率與激振力的頻率相近，所以會(huì )對系統有一定的影響。因此，可以看出自抗擾控制器具有較好的魯棒性。

圖12中對比了未加擾動(dòng)時(shí)和施加了頻率為50rad/s擾動(dòng)時(shí)三個(gè)主動(dòng)桿的控制電壓的差別。由于主動(dòng)桿最大所能承受的電壓為1 50V，如果主動(dòng)桿輸入的電壓超過(guò)150V，則有可能對其造成很大的損害，所以對于主動(dòng)桿的輸入電壓需要進(jìn)行限幅。從上圖中可以看出，控制21號節點(diǎn)的主動(dòng)桿在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右時(shí)，已經(jīng)達到了最大的輸入電壓，所以位移響應的控制效果也會(huì )有所下降。而這也與圖9和圖1 0中所示的位移響應在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右時(shí)的位移控制效果相對最差所相對應。在這2個(gè)時(shí)間段內，擾動(dòng)會(huì )對系統造成較大的影響，但在這段時(shí)間過(guò)后，系統依然可以獲得較好的振動(dòng)控制效果。

6 結論

本文對于所建立的空間桁架模型，選取了壓電主動(dòng)桿作為其控制元件，建立了桁架結構的動(dòng)力學(xué)方程。然后設計了壓電主動(dòng)桿，并使用基于能量的優(yōu)化準則和遺傳算法進(jìn)行了主動(dòng)桿的位置優(yōu)化。在此基礎上，運用了由擴張狀態(tài)觀(guān)測器和非線(xiàn)性誤差反饋控制律組成的自抗擾控制器對建立的模型進(jìn)行了仿真分析。通過(guò)擴張狀態(tài)觀(guān)測器對系統狀態(tài)的準確觀(guān)測，從而實(shí)現系統中未知擾動(dòng)的補償。仿真結果表明，本文所設計的自抗擾控制器能夠有效、準確的對空間桁架結構的振動(dòng)進(jìn)行控制。最后在控制系統中加入正弦擾動(dòng)，驗證了自抗擾控制器有較好的魯棒性。