一種利用超聲散射測量材料內部微裂紋分形參數的新

1 引言

材料中實(shí)際裂紋的形狀參數和空間分布信息在缺陷無(wú)損評估中變得越來(lái)起重要。它們表明了裂紋的折皺程度，擴展路徑，在一定程度上還反映了裂紋的成因。根據裂紋的這些信息，可以在線(xiàn)評估材料的工作狀態(tài)，預測材料的工作壽命，甚至可以分析導致裂紋產(chǎn)生的物理和化學(xué)原因。所以，長(cháng)期以來(lái)人們一直在探索描述真實(shí)裂紋的方法。分形可以表示自然界中的不規則性，而實(shí)際的裂紋有著(zhù)非常復雜和不規則的形狀，且存在統計意義上的自相似性，科研工作者已經(jīng)成功地用分形的方法來(lái)描述真實(shí)的裂紋[1]-[6]，但是目前測量裂紋的分形參數非常費時(shí)。我們提出了一種利用超聲波來(lái)測量實(shí)際裂紋分形參數的方法，并在論文中給出了這種方法測量的理論模型和數值仿真結果。

應用形狀參數來(lái)描述真實(shí)裂紋的方法可以追溯到六十年前，當時(shí)是用來(lái)描述材料斷口的形狀。Womersley 和Hopkins 首次用隨機函數來(lái)刻畫(huà)粗糙的斷口形狀，這種方法已經(jīng)有成功的應用。后來(lái)，Mandelbrot等人發(fā)現這種斷裂面即使很不平整也可用分形表面來(lái)描述。在他們研究的基礎上，后來(lái)有許多科研工作者在相關(guān)的領(lǐng)域進(jìn)行過(guò)大量的研究。從國內外收集的文獻可以看出，這些研究工作主要包括以下三個(gè)方面[7]-[12]：一是裂紋的分形幾何參數的測量方法；二是利用測得的分形量化參數進(jìn)行裂紋成因的探索；三是根據測得的裂紋分形幾何參數預測裂紋的擴展路徑。綜合分析三大研究領(lǐng)域發(fā)現，如何方便快捷地測量裂紋的分形幾何參數是所有研究的關(guān)鍵。傳統的測量真實(shí)裂紋的分形參數的方法主要有小島法、斷面法、電磁散射法和光散射法，所有這些方法都有一個(gè)缺點(diǎn)就是既不方便又耗時(shí)，因為這些方法在測量時(shí)，都需要將裂紋沿裂紋面剖開(kāi)，以便輪廓儀可以直接接觸到斷裂面或是電磁波與光可以直接照射在裂紋上。近幾年，有學(xué)者提出了用聲波的方法來(lái)測量裂紋的分形幾何參數的方法，利用聲波法可有效地克服以上方法的不足，因為聲波可以有效地穿透材料內部并進(jìn)行測量，而不需要對裂紋進(jìn)行剖切。

　　Debashree Dutta[13]等人在1988年率先研究了分形裂紋的聲學(xué)特性，他們建立了裂紋的分形參數與其聲散射場(chǎng)的關(guān)系，根據其研究成果，人們可以通過(guò)聲波來(lái)測量裂紋的分形參數（Hurst 指數）。Debashree Dutta等人只從理論上推導了裂紋表面的不規則性（這種不規則性可用分形參數―Hurst 指數來(lái)度量）是如何影響其上的聲波的散射強度的，在他們的研究中，聲波采用準正弦脈沖聲波。

在本研究中，利用超聲波代替普通聲波，因為超聲波具有更高的頻率，高頻特性可以用來(lái)提高檢測的靈敏度。在此基礎上，推導了裂紋分形參數（Hurst 指數）是如何影響超聲波的時(shí)域回波信號的理論模型。與Debashree Dutta等人的方法相比，本研究中用了較少的假設，建立的模型更加簡(jiǎn)便，檢測靈敏度更高，并且對理論模型進(jìn)行了數值仿真。

論文第二部分，用具有平穩特性且服從高斯分布的自相似隨機函數的組合來(lái)模擬微裂紋。因為微裂紋具有平穩自相似特性，可以用一維分形布朗運動(dòng)（FBM）模型來(lái)描述。這一模型使我們可以用分形參數， Hurst指數來(lái)表征微裂紋。

論文第三部分，用基爾霍夫近似方法研究了微裂紋的超聲散射聲場(chǎng)，最后推導出了微裂紋的超聲散射回波與Hurst 指數的關(guān)系式。

論文第四部分，對在不同的材料內部，不同Hurst指數的微裂紋，不同測量距離時(shí)的裂紋超聲散射聲場(chǎng)進(jìn)行了數值模擬。

2 微裂紋分形模型

Womersley和Hopkins首先提出用零均值且服從高斯分布的隨機函數來(lái)模擬裂紋。從這一理論出發(fā)，裂紋可以用帶隨機變量的復指數函數形式來(lái)表示：
(1)
式中，Cκ是模小于1的復隨機變量。為了研究的方便把e（x）歸一化，同時(shí)為了保證（1）式收斂，取=1 。

Mandelbrot在1982年引入分形布朗運動(dòng)（FBM）的概念，作為隨機函數的推廣。從這一理論出發(fā)，一維微裂紋可以用下面的函數來(lái)表示：
(2)
式中，Cκ是隨機變量，服從零均值、均方差為1的高斯分布。
λ是大于1的常量。
Ακ是在區間[0,2π]上服從均勻分布的隨機變量。
H是 Hurst 指數。

Mandelbrot指出，FBM是增量為零均值平穩實(shí)過(guò)程。f（x,H）的統計特性與原點(diǎn)無(wú)關(guān)，FBM具有統計自相關(guān)性和長(cháng)時(shí)相關(guān)性。對于有限維的FBM，它的聯(lián)合概率分布具有比例不變性。

在本研究中，采用FBM作為微裂紋的模型。

3 微裂紋的超聲散射聲場(chǎng)模型