用累試法直接在Z平面設計數字濾波器的研究

O 引 言
數字濾波器是數字信號處理的一個(gè)重要分支。所謂數字濾波器，是指輸入、輸出均為數字信號通過(guò)一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數字濾波器和模擬濾波器具有同樣的濾波功能，但具有不同的實(shí)現方式。前者是利用有限精度算法來(lái)實(shí)現，精度高，穩定性強，實(shí)現靈活且不要求阻抗匹配，故在很多方面優(yōu)于模擬濾波器；數字濾波器是利用離散系統特性對系統輸入信號進(jìn)行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號波形，讓有用頻率的信號分量通過(guò)，抑制無(wú)用的信號分量輸出。數字濾波器的分類(lèi)有很多種，若從實(shí)現的網(wǎng)絡(luò )結構分類(lèi)，可分為無(wú)限脈沖響應濾波器(IIR)和有限脈沖響應濾波器(FIR)兩種。從結構上看，IIR數字濾波器采用遞歸結構，FIR數字濾波器主要采用非遞歸的結構。本文從另外一個(gè)角度出發(fā)，直接在Z平面上選擇零、極點(diǎn)，這里稱(chēng)為累試法。它既可以設計IIR型數字濾波器，也可以設計FIR型濾波器。

l 數字濾波器設計原理與方法
IIR濾波器設計方法通常是借助于模擬濾波器的設計方法進(jìn)行的，先根據技術(shù)指標設計出模擬的低通濾波器，然后將模擬濾波器通過(guò)變換來(lái)設計數字濾波器，即把s平面映射到Z平面。這一類(lèi)方法相對容易一些，這是因為模擬濾波器設計方法已經(jīng)很成熟，設計出的濾波器具有運算項數少的優(yōu)點(diǎn)。而對于FIR數字濾波器的設計方法，其一主要借助于加各種窗函數來(lái)實(shí)現，其二通過(guò)頻率采樣實(shí)現。

2 累試法設計數字濾波器的思路及原則
所謂累試法就是直接利用軟件，在Z平面上反復多次設置濾波器的零、極點(diǎn)，觀(guān)察幅頻、相位特性是否滿(mǎn)足預先設定的技術(shù)指標，如果滿(mǎn)足技術(shù)指標，則軟件輸出濾波器的系統函數和濾波器的結構，否則還繼續在Z平面上設置零、極點(diǎn)，直到滿(mǎn)足技術(shù)要求為止。這種設計濾波器的思想與成熟的設計方法是一致的，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)逐步逼近的過(guò)程。
根據文獻可知系統函數受系統的零、極點(diǎn)的影響。而零點(diǎn)在相應頻率處產(chǎn)生谷值，極點(diǎn)產(chǎn)生峰值。并且零點(diǎn)離單位圓越近陷落越深，極點(diǎn)離單位圓越近，則波峰越陡峭，同樣地，在相同位置設置的零點(diǎn)、極點(diǎn)越多，能達到的陡峭效果越好。根據這個(gè)思路，可以在Z平面上選擇零、極點(diǎn)，當系統幅度特性滿(mǎn)足設計指標，由零、極點(diǎn)來(lái)確定系統函數，從而確定濾波器的結構。按照這種方法設計應遵循以下的原則：
(1)設置零、極點(diǎn)時(shí)主要考慮濾波器是何種類(lèi)型。如果設計FIR類(lèi)型，不設置極點(diǎn)，只設置零點(diǎn)，這樣的濾波器為非遞歸型。一旦設置了極點(diǎn)有可能使濾波器變成遞歸型的。
(2)如果要濾除某一頻率，則可以在相應數字頻率處設置一零點(diǎn)；相反，則可以設置一極點(diǎn)。
(3)根據濾波器的穩定條件，極點(diǎn)應該設置在單位圓的內部。
(4)為了便于實(shí)現濾波器的結構，零、極點(diǎn)應該成對設置(零、極點(diǎn)在實(shí)軸上除外)，所謂成對設置就是一對零點(diǎn)應該是共軛的，對于極點(diǎn)同樣如此。
(5)要使某頻率處陷落越深或波峰越陡峭，則可以在相應位置多設置幾個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)。
(6)所謂低頻是指在0附近，高頻這在π附近，數字頻率范圍為O～2π。
(7)零點(diǎn)z與其關(guān)于圓周對稱(chēng)點(diǎn)具有相同的濾波效應。
(8)由于系統函數單位圓外的極點(diǎn)zk用代替不影響系統的幅頻特性，相頻特性有所不同。因此當遇到系統涉及單位圓外部極點(diǎn)時(shí)，可以用其單位圓內部鏡像極點(diǎn)代替。
(9)在同點(diǎn)分別選擇一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，存在零極點(diǎn)對消現象，對系統沒(méi)有影響。