開(kāi)槽波導3次諧波回旋行波放大管非線(xiàn)性理論與數值模擬

　　當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數kc的值可由式(10)通過(guò)數值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線(xiàn)性理論
　　在熱腔中，高頻場(chǎng)沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區中的熱腔高頻電場(chǎng)分量(TE波)表達式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場(chǎng)歸一化系數，f(z)為一復函數，代表高頻場(chǎng)沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線(xiàn)性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發(fā)［8］，可推得電子在高頻場(chǎng)(E,B)和直流磁場(chǎng)(B0)作用下的運動(dòng)方程.每個(gè)電子有6個(gè)運動(dòng)參量方程，這里僅給出了速度分量及動(dòng)量空間角3個(gè)運動(dòng)參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對論因子，φ為動(dòng)量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列復雜的推導并對電流進(jìn)行離散化后得到非線(xiàn)性注波互作用場(chǎng)方程為

　(18)

上式中，P為在一個(gè)高頻場(chǎng)周期內所取的電子注批數，M為考慮電子注厚度因數而將電子注化分的圈數，N為每圈上所取的宏電子數，S為諧波次數.〈…〉表示對初始速度分布函數為g0(v⊥,vz)的速度空間進(jìn)行平均.設電子注為單能電子注，速度零散主要來(lái)自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規律來(lái)處理速度零散，即初始速度分布函數為

式中K為歸一化常數,△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場(chǎng)電場(chǎng)幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線(xiàn)性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個(gè)宏電子，則一共有6NT+2個(gè)一階非線(xiàn)性微分方程，結合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進(jìn)行數值計算，計算結果在下部分內容中給出并討論.