有源濾波器中的相位關(guān)系考察

在使用濾波器的應用中，通常人們對幅值響應的興趣要比對相位響應的興趣更濃厚。但是，在某些應用中，濾波器的相位響應也很重要。一個(gè)實(shí)例是 濾波器用于過(guò)程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因為它影響到環(huán)路的穩定性。用來(lái)搭建濾波器的拓撲結構是否會(huì )造成在某些頻率點(diǎn)處符號出現 相反，是非常重要的。

　　將有源濾波器視為兩個(gè)級聯(lián)的濾波器是一個(gè)有用的方法。如圖1所示，其中一個(gè)濾波器是理想的濾波器，用于體現傳遞函 數;另一個(gè)是構成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個(gè)具有一階響應的、簡(jiǎn)單的低通濾波器。當頻率超過(guò)某一點(diǎn)后，增益將隨著(zhù) 頻率的增長(cháng)而出現滾降現象。此外，如果放大器使用反相放大結構的話(huà)，則所有頻率點(diǎn)上還將出現附加的180°相移。

　　圖1. 以?xún)蓚€(gè)級聯(lián)的傳遞函數的形式表示的濾波器

　　濾 波器設計過(guò)程可分為兩步。首先選定濾波器的響應特性，接下來(lái)選出適當的電路結構來(lái)實(shí)現它。濾波器的響應是指衰減曲線(xiàn)的形狀，這常?？梢詺w為經(jīng)典的響應特性 中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應特性的選擇往往會(huì )影響幅值響應特性，但它們也會(huì )影響相位響 應特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應，認為其幾乎不變。

　　濾波器的復雜性往往通過(guò)濾波器的“階數”來(lái)定義，該參數與儲能元 件(電感和電容)的數量有關(guān)。濾波器傳遞函數分母的階數定義了隨著(zhù)頻率的上升而呈現的衰減速率。漸近線(xiàn)型的濾波器滾降速率為-6ndB/倍頻程，或者 -20ndB/十倍頻程，其中n是極點(diǎn)的數量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長(cháng)或者縮減。因此，一個(gè)一階(或者單極點(diǎn))濾波器的 滾降速率為-6dB/倍頻程或者-20dB/十倍頻程。類(lèi)似的，一個(gè)二階(或者2極點(diǎn))濾波器的滾降速率為-12dB/倍頻程或者-40dB/十倍頻程。 更高階次的濾波器往往是由級聯(lián)的一階和二階基本單元所構成的。自然，我們可以利用單個(gè)有源放大電路級來(lái)構建三階、甚至四階濾波器，但是對于元件值的敏感， 以及元件之間的相互作用對頻率響應所造成影響的大幅度上升，會(huì )使這些選擇不那么具有吸引力。

　　傳遞函數

　　首先，我們考察一下傳遞函數的相位響應。對于同樣階數的濾波器選項來(lái)說(shuō)，它們的傳遞函數的相移特性都相同。

　　對于單極點(diǎn)、低通的情形，傳遞函數的相移為φ，由下式給出。

(1)

　　式中：ω = 頻率(弧度/秒)

　　ω0 = 中心頻率(弧度/秒)

　　以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因為每個(gè)360°周期對應著(zhù)2π弧度。由于上面的表達式是一個(gè)無(wú)量綱的比值，故f和ω都可以采用。

　　中 心頻率還可以被稱(chēng)為截止頻率(即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應特性下降3dB——約30%——的頻率點(diǎn))。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達到其最終 值-–90°(在這個(gè)例子中)的50%時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對數圖，描述了公式1所表述的相位響應關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中 心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率(=1)處的相位移動(dòng)為–45°。

　　圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(同相，左軸;反相響應，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)