用電路實(shí)現pascal三角形運算

Pascal三角形，即(a-b)n展開(kāi)項系數，是一個(gè)經(jīng)典的數學(xué)問(wèn)題，然而它在通信、頻率補償、版圖布局布線(xiàn)優(yōu)化等很多方面都有廣泛的應用。在一個(gè)小數分頻項目中，需要構建一個(gè)四級的pascal三角形來(lái)進(jìn)行相位補償，如圖1所示，第二個(gè)累加器的溢出必須通過(guò)第一個(gè)微分控制分頻比，第三個(gè)累加器的溢出必須通過(guò)第二個(gè)微分控制分頻比，依此類(lèi)推。第二個(gè)累加器使分頻比變?yōu)镹+1、N-1，第三個(gè)累加器將分頻比變?yōu)镹+1、N-2、N+1，第四個(gè)累加器的分頻比序列為N+1、N-3、N+3、N-1，正如圖2所示該序列構成一個(gè)pascal三角形，每行的總和為零。依照這個(gè)規律可以設計實(shí)現pascal 三角形運算的通用電路。

Pascal三角形的數學(xué)描述
　　pascal三角形通常用三角形的方式來(lái)表示，如圖2所示，也可以用一個(gè)二維的下三角矩陣來(lái)描述，如圖3所示。
　　矩陣a[n，n]可以用下面的公式來(lái)描述。
　　a[i, j]=a[i, j-1]+(-1)a[i+1, j] (式1)
　　(a[n, 1]=0，a[n, 2]=a[n, 3]=...=a[n, n]=1)
　　i≥1，j≥2。
　　矩陣中第一列的0是為了方便電路實(shí)現而人為加上去的。將此二維矩陣表達式(即式1)變成含有時(shí)間的一維方程。
　　a[i]j=a[i]j-1+(-1)a[i+1]j (式2)
　　i，j均大于1，a[n]2 =a[n]3=...a[n]n=1。下標表示時(shí)間，a[n，1]=0表示剛開(kāi)始整個(gè)電路的清零信號，其余第一列的0表示對應pascal三角形的和為0，最后一行的1表示pascal三角形每一行對應的輸入端有輸入值1時(shí)，產(chǎn)生的立即數為1。
　　此外，式2具有疊加性，可以把pascal三角形中的一行加上其余任意一行或者幾行，實(shí)現任意時(shí)鐘周期的延時(shí)。

Pascal三角形的基本電路
　　根據上面一維含時(shí)公式，先要構建補碼電路，然后是一個(gè)加法電路，最后是一個(gè)延時(shí)電路。
　　假設一個(gè)數組a[n:0]表示數的各位，a[0]為最低位，對各位取反，然后最低位加1，得到一個(gè)新的數組b[n:0]，這個(gè)數組最低位為b[0]，對應的邏輯關(guān)系是：

　　其余位按照這個(gè)規律依此類(lèi)推,邏輯圖如圖4所示。
　　采用通用的全加器，邏輯表達式為：

　　示意圖參見(jiàn)圖5。其中CI為上一級的進(jìn)位，A、B為本級輸入信號，S為全加和，CO是本級進(jìn)位。
　　延時(shí)器采用帶清零的D觸發(fā)器來(lái)實(shí)現，見(jiàn)圖6。CLOCK為時(shí)鐘信號，CLEAR為清零信號，D是數據輸入信號，Q是原量輸出
。