開(kāi)關(guān)電源環(huán)路學(xué)習筆記（2）-線(xiàn)性化條件

上期我們知道了傳遞函數的重要性，而傳遞函數只有線(xiàn)性系統才有，開(kāi)關(guān)電源并不是一個(gè)線(xiàn)性電路，所以我們需要將其線(xiàn)性化。當然，這個(gè)線(xiàn)性化肯定是有約束條件的，即在一定條件下才成立。

秒針的速度

先來(lái)看這樣的一個(gè)例子：

上面這個(gè)時(shí)鐘，秒針能一秒發(fā)出一個(gè)“噠”聲。我如果說(shuō)秒針是勻速旋轉的，大家應該沒(méi)什么異議吧，秒針每過(guò)1秒轉動(dòng)1小格，確實(shí)是勻速旋轉，即秒針轉的弧度與時(shí)間是線(xiàn)性關(guān)系。

但是如果我說(shuō)秒針是每時(shí)每刻都是勻速旋轉的，那就不對了吧。仔細觀(guān)察的話(huà)，這種時(shí)鐘，實(shí)際是時(shí)間每過(guò)1秒，迅速轉動(dòng)一小格，然后等待一秒，到了一秒后馬上又轉動(dòng)一小格，所以它的速度并不是每時(shí)每刻都是一樣的，期間甚至有靜止不動(dòng)的時(shí)候，即秒針轉的弧度與時(shí)間并不是絕對的線(xiàn)性關(guān)系。

總之，嚴格來(lái)說(shuō)，秒針轉的弧度與時(shí)間并不是線(xiàn)性關(guān)系，但是如果滿(mǎn)足一定的條件——時(shí)間夠長(cháng)，我們把它當成線(xiàn)性關(guān)系去看待反而會(huì )使問(wèn)題更為簡(jiǎn)單，在計算一定時(shí)間秒針轉了多少圈這種問(wèn)題時(shí)，得到的結果也能接受，誤差并不太大。

類(lèi)似時(shí)鐘的例子，在滿(mǎn)足一定條件的時(shí)候，開(kāi)關(guān)電源也可以看成是線(xiàn)性系統。

那問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)一定條件，到底是什么條件呢？

開(kāi)關(guān)電源線(xiàn)性化的條件

要知道線(xiàn)性化的條件，那自然要知道開(kāi)關(guān)電源哪里不是線(xiàn)性的。我們還是以最常見(jiàn)的電壓反饋型的buck為例子吧。

下圖是電壓反饋型的BUCK的系統結構框圖

整個(gè)系統結構主要有4個(gè)部分：

1、采樣網(wǎng)絡(luò )

2、放大和補償器

3、脈沖調制器

4、開(kāi)關(guān)變換器

采用網(wǎng)絡(luò )

采樣網(wǎng)絡(luò )一般就是指FB上面的兩個(gè)分壓電阻，采樣網(wǎng)絡(luò )的輸入是電源的輸出Vo，采樣網(wǎng)絡(luò )的輸出是FB的電壓，很明顯，它們是線(xiàn)性的。

比如下面buck芯片MP1484電路，這一級的傳遞函數都能很容易寫(xiě)出來(lái)，是線(xiàn)性的。

放大和補償器

放大和補償器要稍微復雜一點(diǎn)，我們可以打開(kāi)MP1484的內部框圖看看。

放大器工作在線(xiàn)性放大區，那就是線(xiàn)性的，補償電路一般是阻容RC補償，這一級沒(méi)有非線(xiàn)性器件，所以這一級也是線(xiàn)性的。

脈沖調制器

脈沖調制器可能看著(zhù)有點(diǎn)不好處理。

因為前面不論是采樣網(wǎng)絡(luò )，還是放大和補償器，它們的輸入和輸出都是電壓信號，且都是模擬量。而這個(gè)東西，將輸入的模擬電壓信號搞成PWM波了，我們總不至于說(shuō)PWM波和前面的模擬量是線(xiàn)性關(guān)系吧（可以通俗理解線(xiàn)性關(guān)系就是比例關(guān)系）。

所以，如果看輸入和輸出的電壓比例關(guān)系，脈沖調制器這一級就不是線(xiàn)性的。

這一點(diǎn)應該很明白，如果是線(xiàn)性的，輸入是正弦波，那么輸出一定正弦波，不會(huì )產(chǎn)生新的頻率成分。

先看看這個(gè)PWM是如何產(chǎn)生的？

從放大和補償器出來(lái)的信號，我們取個(gè)名字加Vc(t)吧，它是時(shí)間的函數。Vc(t)與芯片內部產(chǎn)生的鋸齒波做比較，就能得到PWM波。

產(chǎn)生PWM的原理如下：

1、某一時(shí)刻Vc（t）大于鋸齒波的電壓，那么輸出高

2、某一時(shí)刻Vc（t）小于鋸齒波的電壓，那么就輸出低

波形圖如下：

我們知道，開(kāi)關(guān)電源就是通過(guò)控制每個(gè)開(kāi)關(guān)周期內的導通與關(guān)斷時(shí)間來(lái)達到控制輸出電壓的目的。也就是占空比d，對系統調整起決定作用的就是這個(gè)PWM的占空比d。

那么我們干脆把占空比d作為這一級的輸出信號。

占空比就是每個(gè)開(kāi)關(guān)周期內PWM波為高電平所占的時(shí)間百分比，顯然，一個(gè)周期內占空比只有一個(gè)值，一個(gè)周期之內也只能調整一次占空比，調整的位置見(jiàn)上圖中紅色的點(diǎn)。

輸入信號Vc(t)是連續的信號，而輸出占空比d可以看成是離散的點(diǎn)。這是不是很像是AD采樣？每一個(gè)開(kāi)關(guān)周期對Vc(t)采樣一次，也就是說(shuō)采樣頻率就是開(kāi)關(guān)頻率。

顯然，如果采樣率夠高，那么這些采樣出來(lái)的點(diǎn)連起來(lái)的形狀和Vc(t)是長(cháng)的一樣的，也就是說(shuō)輸出占空比d與輸入Vc(t)成線(xiàn)性關(guān)系。

所以，線(xiàn)性化的條件就是采樣率要夠高，夠高是多高呢？根據奈奎斯特采樣定律，采樣率至少是信號頻率的2倍關(guān)系。

采樣率是開(kāi)關(guān)頻率，信號是Vc(t)，所以Vc(t)不能超過(guò)開(kāi)關(guān)頻率的二分之一。

回到主題，脈沖調制器這一級線(xiàn)性化的條件就是：輸入信號Vc(t)不能超過(guò)開(kāi)關(guān)頻率的二分之一。

我想，這也是為什么我們會(huì )在很多地方看到類(lèi)似這樣的話(huà)：環(huán)路的穿越頻率理論上要小于開(kāi)關(guān)頻率的二分之一（一般都設置小于1/5以上）。

原因應該就是：如果穿越頻率大于開(kāi)關(guān)頻率的二分之一，那么這個(gè)系統就不能看成是線(xiàn)性系統，這時(shí)候穿越頻率就沒(méi)了意義（因為它來(lái)源于我們把這個(gè)系統當線(xiàn)性系統）。

開(kāi)關(guān)變換器

開(kāi)關(guān)變換前一級為脈沖調制器，其輸出信號為占空比d，那么到了開(kāi)關(guān)變換器這一級，占空比作為其輸入信號了，而輸出信號就是Vo了。

我們看中間節點(diǎn)SW處，SW處的波形也是占空比為d的PWM波，并且高電平的電壓為電源輸入電壓Vi，在低電平的時(shí)候為0。

我們知道，BUCK穩定時(shí)的占空比就是：d=Vo/Vi(忽略二極管壓降)

變換一下，也就是Vo=Vi*d。一個(gè)確定的電路，電源輸入點(diǎn)電壓Vi是確定的（不考慮噪聲），那么Vo與d就是線(xiàn)性關(guān)系，即開(kāi)關(guān)變換器這一級的輸出與輸入為線(xiàn)性關(guān)系。

另外，Vo肯定是有開(kāi)關(guān)頻率的紋波的，不過(guò)通常這個(gè)紋波是幾十mv左右，這里是把這個(gè)紋波忽略掉的。因此，我們說(shuō)它們是線(xiàn)性關(guān)系，其實(shí)是有個(gè)條件，那就是Vo的輸出紋波很小，可以忽略，這一般稱(chēng)為小紋波假設。

不過(guò)，Vo與d的線(xiàn)性關(guān)系并不總是成立的。

如果是boost，那么其占空比的公式是這樣的：d=1-Vi/Vo，那么Vo=Vi/(1-d)，顯然，vo與d并不是線(xiàn)性關(guān)系。這個(gè)時(shí)候怎么辦呢？

當電源輸入Vi確定時(shí)，我們畫(huà)出Vo=vi/(1-d)的曲線(xiàn)如下圖：

可以看到，d與Vo并不是線(xiàn)性關(guān)系，但是結合我們實(shí)際使用的情況，一般輸入電壓Vi和Vo確定之后，穩定時(shí)占空比d是不變的，假設為d0。

如果干擾信號引起的占空比△d變化很小，那么在這個(gè)小范圍內，Vo與d是可以近似為線(xiàn)性的關(guān)系的。

所以，如果干擾信號比較小的話(huà)——小信號假設，這一級也是可以看成線(xiàn)性的。

小結

開(kāi)關(guān)電源系統一般劃分為4級：采樣網(wǎng)絡(luò )，放大和補償，PWM調制器，開(kāi)關(guān)變換器。

采樣網(wǎng)絡(luò )，放大和補償這兩級本身就是線(xiàn)性的，PWM調制器和開(kāi)關(guān)變換器為非線(xiàn)性的。在滿(mǎn)足下面三個(gè)條件時(shí)，開(kāi)關(guān)電源可以看做線(xiàn)性系統。

1、低頻假設：干擾信號的頻率比較低，至少小于開(kāi)關(guān)頻率的二分之一（注：一些書(shū)在建模時(shí)的條件：遠小于開(kāi)關(guān)頻率）。

2、小信號假設：干擾信號的幅度比較小，引起占空比d只在小范圍變化。

3、小紋波假設：開(kāi)關(guān)造成的輸出紋波幅值很小，可以忽略不計。

說(shuō)明

最近一直在看環(huán)路這一部分的內容，主要的資料其實(shí)就是看一本書(shū)《開(kāi)關(guān)變換器的建模與控制+張衛平編著(zhù)》。這本書(shū)還是非常不錯的，相當的專(zhuān)業(yè)，非常的嚴謹，但這也就意味著(zhù)有大量的公式，看起來(lái)有些費勁。如果想要深入了解下開(kāi)關(guān)電源環(huán)路的，推薦看下這本書(shū)。

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我寫(xiě)這個(gè)筆記文章的目的，就是想盡量用通俗的語(yǔ)言，描述我所想過(guò)的問(wèn)題，看完之后把書(shū)本一扔，還能在腦子里面留下一個(gè)印象：“嗯，應該是這么回事”。

當然，我也是自己在慢慢看，思考一些問(wèn)題，找答案，現在寫(xiě)的都是之前的未知領(lǐng)域。受限于我的智商，難免有一些自己以為悟到的其實(shí)是錯的。如果兄弟們有發(fā)現，就請留言指出來(lái)。另外，如果兄弟們有好的資料，也可以推薦給我，感謝！

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