淺說(shuō)非線(xiàn)性及其有限元分析

        世界是非線(xiàn)性的。但是，人類(lèi)對它的認識卻是從簡(jiǎn)單的線(xiàn)性開(kāi)始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派就發(fā)現了自然數是按照均勻的線(xiàn)性關(guān)系增加的。

        到了18世紀，法國大數學(xué)家拉普拉斯首先認識到，自然界也許不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性世界。他曾說(shuō)，如果世界是線(xiàn)性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡(jiǎn)單、均勻的規則發(fā)展，那么，這個(gè)世界也未免太簡(jiǎn)單、太單調了。

        到了19世紀，隨著(zhù)力學(xué)的發(fā)展，數學(xué)家們首次發(fā)現了非線(xiàn)性的微分方程，這類(lèi)方程與通常的線(xiàn)性的微分方程相比，方程中多了一個(gè)或幾個(gè)非線(xiàn)性的項，正是非線(xiàn)性項的存在，使方程由簡(jiǎn)單的線(xiàn)性變成了復雜的非線(xiàn)性。當時(shí)，這類(lèi)方程較多地出現在空氣動(dòng)力學(xué)方程與流體力學(xué)方程之中。而法國數學(xué)家龐加萊則是最早研究此類(lèi)方程的人，由此，他得出結論：自然界從廣義上講是由非線(xiàn)性構成的，線(xiàn)性只是一個(gè)特例。

        公認的對現代非線(xiàn)性理論做出杰出貢獻的是荷蘭的一位氣象學(xué)家，叫洛倫茲，正是他開(kāi)啟了人類(lèi)認識非線(xiàn)性世界的大門(mén)。在非線(xiàn)性世界中，結果對初始條件有著(zhù)很大的依賴(lài)性，只要初始條件有一點(diǎn)微小的變化，隨著(zhù)時(shí)間的推移，結果會(huì )越來(lái)越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線(xiàn)性世界的這一特征稱(chēng)為“混沌效應”。

        因此，線(xiàn)性只是我們對復雜物理現象的簡(jiǎn)化，非線(xiàn)性才是客觀(guān)世界的常態(tài)。

將非線(xiàn)性狀態(tài)抽象分類(lèi)出來(lái)主要是三類(lèi)：

• 材料非線(xiàn)性

• 幾何非線(xiàn)性

• 邊界非線(xiàn)性

● 材料非線(xiàn)性

        材料非線(xiàn)性是指材料屬性會(huì )隨某些變量變化時(shí)，顯示出非線(xiàn)性特征。所有的工程材料本質(zhì)上都是非線(xiàn)性的，因為無(wú)法找到單一的本構關(guān)系滿(mǎn)足不同的條件，比如加載、溫度和應變率。

材料非線(xiàn)性的簡(jiǎn)單分類(lèi)：

• 非線(xiàn)性彈性

• 超彈性

• 理想彈-塑性

• 彈性-時(shí)間無(wú)關(guān)塑性

• 時(shí)間相關(guān)塑性（蠕變）

• 應變率相關(guān)彈-塑性

• 溫度相關(guān)的彈性和塑性

● 幾何非線(xiàn)性

        幾何非線(xiàn)性可能與大應變、大轉角、大變形幾種情況有關(guān)，這個(gè)并不是由于材料特性發(fā)生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結果。當形變非常大，造成應變非常高的時(shí)候，也有可能同時(shí)存在材料高度非線(xiàn)性。

● 邊界非線(xiàn)性

        最典型的邊界非線(xiàn)性就是力學(xué)分析中的接觸，包括摩擦，碰撞等等。如兩個(gè)或更多個(gè)部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會(huì )變化并改變。

        在實(shí)際工程中，產(chǎn)品結構設計常常會(huì )被優(yōu)化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進(jìn)行非線(xiàn)性有限元分析。

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