開(kāi)關(guān)電容梳狀濾波器幅頻特性的深入分析

　　最基本的開(kāi)關(guān)電容電路是由電子開(kāi)關(guān)和電容組成的，主要應用是構成各種低通、高通、帶通、帶阻等開(kāi)關(guān)電容濾波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。將開(kāi)關(guān)電容電路與運算放大器結合，組成的開(kāi)關(guān)電容有源濾波器具有很多奇特的性質(zhì)，但由于引入了電子開(kāi)關(guān)，對電路特性進(jìn)行嚴密分析變得異常困難，目前已有的分析方法都只是在一定條件下從一個(gè)側面進(jìn)行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計算機系統對其進(jìn)行復雜而嚴格的分析計算，最終得到了具有普遍意義的結論，上述文獻的結果只是該普遍性結論的特例。

　　1 SCF電路

　　開(kāi)關(guān)電容有源濾波器電路如圖1(a)，其中S1和S2是由周期為2T的方波信號控制的理想電子開(kāi)關(guān)，方波控制信號p(t)波形如圖1(b)，其占空系數為0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期間兩開(kāi)關(guān)接通A點(diǎn)，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期間兩開(kāi)關(guān)接通B點(diǎn)，其中K=0，1，2，…，是時(shí)段編號。

　　2 時(shí)域法特性分析

　　時(shí)域分析法的思路是根據圖1的電路結構建立電路的微分方程(以輸出電壓為研究對象)。轉換周期為2T的電子開(kāi)關(guān)的方波控制信號可表示為周期為2T的周期信號p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積：

　　式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)為開(kāi)關(guān)頻率，電路在k時(shí)段的時(shí)域響應(輸出電壓)表示為hk(t)，并設：

　　(1)電容C在t=0_時(shí)刻電壓為零(0_，kT_等帶下劃線(xiàn)符號表示相應時(shí)刻的前瞬，下同)，即：

　　(2)因為狄拉克δ函數激勵下的零狀態(tài)響應h(t)的傅里葉變換即為電路的頻率響應函數，即系統(頻譜)函數H(Ω)，故設電路輸入信號(激勵)為δ函數，即：

　　由于電子開(kāi)關(guān)周期性切換，RC電路對外電路的影響表現為：下一時(shí)段的輸出電壓初值是上一時(shí)段末時(shí)刻輸出電壓值乘(-1)，即：

　　圖1(a)中理想運放反相端為虛地，第0時(shí)段(即k=0，0≤t<T)電路響應h0(t)的微分方程為

　　由式(8)可見(jiàn)，第k段的非零值時(shí)區為(kT，(k+1)T_)，即各時(shí)段非零值區間互不重疊，對hk(t)關(guān)于k求和，得開(kāi)關(guān)電容電路(對外)的單位沖激零狀態(tài)響應h(t)為：

　　特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積，對上式取Fourier積分變換即得到開(kāi)關(guān)電容電路系統頻譜函數(用j表示虛數單位，下同)：

　　也可以根據式(1)定義的周期為2T的開(kāi)關(guān)方波信號p(t)，將式(9)改寫(xiě)為：

　　易證式(13)與式(10)完全一致，故其幅頻特性∣H(Ω)∣仍與式(11)相同。