基于最大峰度準則的非因果AR系統盲辨識

一、引　　言

　　在地震勘探、通訊和水聲信號處理等許多領(lǐng)域，經(jīng)常需要辨識非因果系統.要解決這類(lèi)非因果系統的盲辨識問(wèn)題、單靠相關(guān)函數是不夠的，因為它不包含系統的相位信息［1］.

　　基于高階統計量的系統辨識方法在近年來(lái)受到了高度的重視.同基于相關(guān)函數的傳統辨識方法相比較，高階統計量的優(yōu)點(diǎn)在于：1.可保留系統的相位信息，從而有效地辨識非最小相位、非因果系統.2.可以抑制加性有色噪聲的影響，提高算法的魯棒性.在各種高階統計量中，四階統計量由于計算相對簡(jiǎn)單，可以處理對稱(chēng)分布信號而受到人們的特別重視，成為許多算法的基礎.

　　在文獻［3］的基礎上，本文提出了最大峰度準則，并將其應用到非因果系統的辨識中.通過(guò)非線(xiàn)性?xún)?yōu)化中的梯度法，本文設計了一種AR系統的盲辨識算法，并證明了它的全局收斂性，給出了算法在平衡點(diǎn)附近的收斂速度.算法通過(guò)構造逆濾波器的方法來(lái)進(jìn)行盲辨識，同時(shí)通過(guò)基于高階累積量的自學(xué)習算法用逆濾波器的系數逼近AR系統的參數.這個(gè)算法可以辯識非因果系統并且也可用于反卷積或者盲均衡.由于采用了高階累積量，算法對高斯觀(guān)測噪聲有較好的魯棒性.

二、基于最大峰度準則的系統辨識算法

　　設有一未知的線(xiàn)性時(shí)不變系統H，其輸入序列{u(n)}也未知，我們只觀(guān)測到其輸出序列{x(n)},n=0,1,…,N-1，其中N為測量序列的長(cháng)度.系統模型為

x(n)=u(n)*h(n)+w(n)　(1)

其中{w(n)}是量測噪聲.h(n)是未知的線(xiàn)性時(shí)不變系統H的單位脈沖響應.

　　對這個(gè)模型中的信號特性做如下假設：

　　(A1)線(xiàn)性時(shí)不變系統H是穩定的，但它不一定是最小相位，也不一定是因果的，它存在一個(gè)穩定的逆系統H-1.

　　(A2){u(n)}是平穩的零均值非高斯實(shí)信號，而且是一個(gè)獨立同分布信號，它的m階累積量γm存在，m3.加性噪聲{w(n)}服從高斯分布，其統計特性未知，且與輸入信號{u(n)}相獨立.

　　設對逆系統H-1的估計為V，則V的輸出{y(n)}為

y(n)=x(n)*v(n)=u(n)*g(n)+w′(n)　(2)

其中w′(n)=w(n)*v(n)仍為一高斯噪聲，g(n)是由下式給出的穩定的濾波器

g(n)=h(n)*v(n)　(3)

　　與通常的峰度定義不同，定義信號x(t)的(規范化的)峰度K42x為

K42x=c4x(0,0,0)/［c2x(0)］2=γ4x/［σ2x］2　(4)

　　為了克服Shalvi Weinstein提出的準則［2］中要求信號的方差相等的限制，可以把式(4)定義的(規范化)的峰度值做為準則函數，這使它更適合于實(shí)際應用環(huán)境定義的準則函數為

J(v(n))=|K42y|=|γ4y/(σ2y)2|　(5)

　　需要說(shuō)明的是，這個(gè)準則函數實(shí)際上是Chi Wu［3］提出的一大類(lèi)準則函數中的一個(gè)特例.他們提出的準則函數為：

Jl+s,2s(v(n))=|γl+s,y|2s/|γ2s,y|l+s　(6)

其中l＞s1.

　　顯然，式(5)是式(6)在l=3,s=1時(shí)的特例.該準則函數的有效性在［3］中得到了證明，但本文將證明基于式(5)這個(gè)準則的算法的全局收斂性和收斂速度.

　　對于非因果AR系統，其逆濾波器是一個(gè)因果MA系統和一個(gè)反因果MA系統的極聯(lián)，設這兩個(gè)系統分別為ω(i)和(i).針對上面的準則函數，可以利用非線(xiàn)性?xún)?yōu)化中的梯度法，得到ω(i)和(i)的自學(xué)習算法為：

　(7)
　(8)

　　式中的數學(xué)期望在實(shí)際應用中都由相應的均值估計代替.當K42x為正時(shí)，x(t)為所謂超值，保證K42y不斷向正的方向增大；當K42x為負時(shí)，x(t)為亞高斯(Sub-Gaussian)信號，α取負值，K42y不斷減小，|K42y|增大.

三、算法的全局收斂性

　　因為本文采是非線(xiàn)性?xún)?yōu)化方法，這就必然涉及到一個(gè)問(wèn)題：算法收斂到的是全局極值點(diǎn)還是局部極值點(diǎn)?下面的定理表明算法必然收斂到全局極值點(diǎn).

　　定理：式(7)，式(8)的算法的收斂點(diǎn)是全局極值點(diǎn).

　　證明：根據輸入和輸出之間高階累積量的關(guān)系，可以把準則函數改寫(xiě)為

J(v(n))=|K42u|∑g4(n)/［∑g2(n)］2　(9)

去掉其中與輸入有關(guān)的常數，可以把目標函數進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

J(g(n))=∑g4(n)/［∑g2(n)］2　(10)

　　由式(10)，得到下列駐點(diǎn)方程

j=1,2,…　(11)

　　由式(11)，駐點(diǎn)為g(j)=0或g2(j)=c,其中c=∑g4(i)/∑g2(i)為一常數.為了便于敘述，定義由駐點(diǎn)gM(j)組成的集合GM,M=1,2,…,即
GM={gM:gM(j)符合式(11)，且gM中有M個(gè)非零元素}　(12)

　　由文獻［3］關(guān)于準則有效性的證明，知道G1是由所有全局極值點(diǎn)組成的集合，下面證明GM，M2是由不穩定平衡點(diǎn)(鞍點(diǎn))組成的集合，即利用本算法不會(huì )收斂到局部極值點(diǎn).
　　假定∈GM為

　(13)

其中IM=(k1,…,KM)是一個(gè)有M個(gè)不重復正整數的集合.構造一個(gè)向量.

　(14)

它的準則函數為

　(15)

　　只要ε＞0，上面的不等式就嚴格成立.也就是說(shuō)，在的任何小的領(lǐng)域里，總存在使得J()＞J()，所以∈GM不可能是局部極大值.下面證明它也不是局部極小值.
　　設kM+1IM，構造如下的一個(gè)向量g)

　(16)

它的準則函數為

　(17)

因為c＞ε＞0，上面的不等式嚴格成立，所以∈GM不可能是局部極小值.
　　綜上所述，∈GM,M2是準則函數的不穩定平衡點(diǎn).因此按照式(7)，式(8)的梯度尋優(yōu)算法收斂到的必然是全局極值點(diǎn).證畢.

　　上述定理表明，本算法對任何初始值都不會(huì )收斂到不希望的局部極值點(diǎn)，這無(wú)疑是一個(gè)非?？少F的性質(zhì).本文例2的仿真結果說(shuō)明了這一性質(zhì).

四、算法的收斂速度
　　下面考慮算法的收斂速度.不失一般性，假設平衡點(diǎn)為(i)=δ(τ),g(i)為偏離平衡點(diǎn)的一個(gè)迭代值.

　(18)

　　定義則有，

≈(1-4ε0)/|1+ε-2ε0|2-1(推導中去掉了分子中ε,ε0所有的二次以上項)
≈(1-4ε0)|1-ε+2ε0|2-1
≈-2ε(推導中去掉了ε,ε0所有的二次以上項)　(19)

　　由式(18)和(19)，得到

J(g)-J()∝‖g-‖2　(20)

　　可見(jiàn)在全局極值點(diǎn)附近，準則函數是以平方速度變化的.因此本文提出的基于梯度法尋優(yōu)的學(xué)習算法在平衡點(diǎn)附近將線(xiàn)性收斂.從下節例1的圖1和圖2中可以看到在接近收斂點(diǎn)附近，辨識的各個(gè)參數都以幾乎相同的斜率收斂到終值.

圖1　反因果部分辨識過(guò)程

圖2　因果部分辨識過(guò)程

五、仿真結果

　　此處給出兩種典型情況的仿真結果，在所有仿真中加性觀(guān)測噪聲為高斯白噪聲，輸入信號是指數分布的隨機過(guò)程(均值為零，λ=1)，數據長(cháng)度為3000.學(xué)習常數開(kāi)始時(shí)為0.5，在學(xué)習過(guò)程中逐漸減小為0.1.對每個(gè)例子均為30次Monte Carlo實(shí)驗.

　　例1.(非因果系統的辨識)真實(shí)AR模型為

它的極點(diǎn)位于-0.0506±j0.6532，-0.6988，和-1.7500±h1.3919，信噪比SNR=10dB辨識時(shí)取m=5和n=5，即因果MA部分和反因果MA部分分別比實(shí)際模型高兩階和三階.辨識結果見(jiàn)表1和表2.

表1　非因果AR系統的因果部分辨識結果