二階電路的零輸入響應

凡用二階微分方程描述的電路，稱(chēng)為二階電路。二階電路中含有兩個(gè)獨立的儲能元件。本節以串聯(lián)電路為例，討論二階電路的零輸入響應。

圖8-7-1

圖8-7-1為串聯(lián)電路，當時(shí)，假設電容C曾充過(guò)電，初始電壓為，電感L處于零初始狀態(tài)，即。在時(shí)刻，開(kāi)關(guān)S閉合，求零輸入響應、與。

如圖8-7-1所示選取各電壓、電流的參考方向。開(kāi)關(guān)S閉合后，根據基爾霍夫電壓定律列寫(xiě)描述電路的微分方程：

（式8-7-1）

（式8-7-1）中有兩個(gè)未知變量i和。將代入上式消去，得到：

即：

（式8-7-2）

也可以得到：

（式8-8-3）

（式8-7-2）與（式8-7-3）形式完全一致，都是線(xiàn)性常系數二階齊次微分方程，可任選其中一式求解，現選擇（式8-7-2）。求解二階微分方程，需要兩個(gè)初始條件來(lái)確定積分常數。

根據換路定則：

，

特征方程為：

特征根為：

（式8-7-4）

特征根只與電路結構和參數有關(guān)。

下面分三種情況討論方程的解。

（1）當即時(shí)，過(guò)渡過(guò)程是非周期情況，也稱(chēng)為過(guò)阻尼情況。此時(shí)特征方程有兩個(gè)不相等的負實(shí)根。通解的一般形式為：

（式8-7-5）

電流：

（式8-7-6）

其中積分常數A1、由初始條件確定，對（式8-7-5）（式8-7-6）取時(shí)刻值：

，

由初值：

，

聯(lián)立求解上兩式得：

（式8-7-7）

將A1、代入（式8-7-5）（式8-7-6）得：

電容電壓：

（式8-7-8）

電流：

電感電壓：

又因，于是：

（式8-7-9）

（式8-7-10）

圖8-7-2

、、隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)如圖8-7-2所示。在（式8-7-8）中，包含兩個(gè)分量，S1、S2都為負值，且，故比衰減得快，這兩個(gè)單調下降的指數函數決定了電容電壓的放電過(guò)程是非周期的。

電感電壓在時(shí)初值為，在時(shí)，由于電流不斷負向增加，為負；在后，電流負向減少，為正，最終衰減至零。

如果，或，時(shí)，分析過(guò)程與上相同。

（2）當即時(shí)，過(guò)渡過(guò)程是臨界阻尼情況，此時(shí)特征方程有兩個(gè)相等的負實(shí)根。

（式8-7-11）

電容電壓的一般形式為：

（式8-7-12）

電流：

（式8-7-13）

由初始條件確定積分常數、：

，

解之得：

，

因此：

（式8-7-14）， （式8-7-15） （式8-7-16）

、、隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)與圖8-7-2所示的曲線(xiàn)相似，響應仍然是非周期性的，非振蕩性的。

（3）當即時(shí)，過(guò)渡過(guò)程是欠阻尼情況，是周期性振蕩情況。此時(shí)特征方程有兩個(gè)實(shí)部為負的共軛復根。令，稱(chēng)為衰減系數，為諧振角頻率，稱(chēng)為振蕩角頻率，則特征根為：

（式8-7-17）

電容電壓的一般形式為：

（式8-7-18）

電流：

（式8-7-19）

由初值確定積分常數A、，對（式8-7-18）、（式8-7-19）取時(shí)刻的值，得到：

聯(lián)立求解得：

， （式8-7-20）

于是：

（式8-7-21）

（式8-7-22）

（式8-7-23）

圖8-7-3

、、的波形如圖8-7-3所示，它們都是振幅按指數規律衰減的正弦波，圖中虛線(xiàn)為包絡(luò )線(xiàn)。當達到極大值時(shí)，為零；當達到極大值時(shí)，I為零。這種幅值逐漸減小的振蕩稱(chēng)為阻尼振蕩或衰減振蕩。衰減系數b越大，振幅衰減越快；b越小，振幅衰減越慢。阻尼振蕩角頻率決定于由路本身的參數，電阻減小，則衰減系數減小，衰減減慢，在的極限情況下，衰減系數，響應變成等幅振蕩，也稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩。無(wú)阻尼振蕩角頻率等于諧振角頻率，這時(shí)（式8-7-21）（式8-7-22）（式8-7-23）變?yōu)椋?/P>

（式8-7-24）

（式8-7-25）

（式8-7-26）

上述無(wú)阻尼振蕩不是由激勵源強制作用所形成的，是零輸入響應，因此稱(chēng)為自由振蕩。下面從能量轉換角度分析電路的久阻尼周期性振蕩過(guò)程。

例8-7-1 如圖8-7-4所示電路，當時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合。已知，，，。試分別計算、及時(shí)的。

圖8-7-4例8-7-1附圖

解：圖8-7-4所示是一個(gè)RLC串聯(lián)電路，利用前面的分析結果求解。

（1）時(shí)，，過(guò)渡過(guò)程為過(guò)阻尼情況。

，

根據換路定則：

，

于是：

求得：

，

故：

（2）當時(shí)，，過(guò)渡過(guò)程為臨界阻尼情況

由初始條件得：

，

解得：

，故：

（3）當時(shí)，，過(guò)渡過(guò)程為欠阻尼情況：

由初始條件得：

，

解得：

故：