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一階電路的零狀態(tài)響應

作者: 時(shí)間:2011-07-17 來(lái)源:網(wǎng)絡(luò ) 收藏
一階電路的零狀態(tài)響應

當所有的儲能元件均沒(méi)有初始儲能,電路處于零初始狀態(tài)情況下,外加激勵在電路中產(chǎn)生的響應稱(chēng)為零狀態(tài)響應。

下面分別討論激勵為直流、正弦交流情況下,、電路的零狀態(tài)響應。

一、直流激勵下的零狀態(tài)響應。

1、串聯(lián)電路

如圖8-5-1所示,開(kāi)關(guān)S原置于位置2,電路已達穩態(tài),即,電容上無(wú)初始儲能。在時(shí)刻,開(kāi)關(guān)S由2切換至1,電路接通直流電壓源,求換路后的零狀態(tài)響應、、。

圖8-5-1

,開(kāi)關(guān)S切換至1,由得:

(式8-5-1)

這是一個(gè)一階線(xiàn)性常系數非齊次微分方程。由微分方程求解的知識得,特解:

齊次方程的通解:

全解為:

(式8-5-2)

根據換路定則:

由(式8-5-2):

因此:

最終求得:

(式8-5-3)

(式8-5-4)

(式8-5-5)

根據(式8-5-3)—(式8-5-5),畫(huà)出零狀態(tài)響應、隨時(shí)間變化的曲線(xiàn),如圖8-5-2所示。

圖8-5-2

在圖8-5-1所示電路中,當后,電壓源對電容充電。電容從初始電壓為零逐漸增大,最終充電至穩態(tài)電壓,而電流則從初始值逐漸減小,最終衰減至穩態(tài)值零。

2、串聯(lián)電路。

如圖8-5-3所示,開(kāi)關(guān)S置于位置2,電路已達穩態(tài),即,電感L上無(wú)初始儲能。在時(shí)刻,開(kāi)關(guān)S由2切換至1,電路接通直流電壓源,求換路后的零狀態(tài)響應、。

圖8-5-3

后,開(kāi)關(guān)S切換至1,由得:

(式8-5-6)

(式8-5-6)是一個(gè)一階線(xiàn)性常系數非齊次微分方程。該方程的全解是特解和齊次方程的通解之和,即:

(式8-5-7)

表示全解,表示特解,表示通解。換路后電路達到新的穩定狀態(tài)的穩態(tài)電流就是特解,即:

(式8-5-8)

其通解為:

(式8-5-9)

于是,全解為:

(式8-5-10)

(式8-5-10)中的積分常數A由初始條件確定。在時(shí)刻,根據換路定則:

由(式8-5-10):

因此:

最終得到:

(式8-5-11)

(式8-5-12)

(式8-5-13)

顯然,,滿(mǎn)足。圖8-5-4繪出了零狀態(tài)響應、的曲線(xiàn)。

圖8-5-4

二、正弦交流激勵下的零狀態(tài)響應

1、串聯(lián)電路

仍以圖8-5-1所示電路為例,將直流電壓源改為正弦交流電壓源,當后,由得到電路的微分方程為:

(式8-5-14)

的全解等于特解和通解之和,即:

由于激勵是正弦交流激勵,即為穩態(tài)分量,即為暫態(tài)分量。穩態(tài)分量可利用相量計算:

式中 :

暫態(tài)分量仍為,于是全解為:

(式8-5-15)

時(shí)刻,根據換路定則,確定積分常數:

由(式8-5-15):

最終得到:

(式8-5-16)

(式8-5-17)

(式8-5-18)

(式8-5-16)~(式8-5-18)說(shuō)明電源的初相角對暫態(tài)分量的大小有影響,通常稱(chēng)為接通角。當時(shí),電容電壓的暫態(tài)分量為最大。從(式8-5-16)不難看出,電容過(guò)渡電壓的最大值無(wú)論如何不會(huì )超過(guò)穩態(tài)電壓幅值的兩倍。但是從(式8-5-17)可以看出,在某些情況下,過(guò)渡電流的最大值將大大超過(guò)穩態(tài)電流的幅值。

2、RL串聯(lián)電路

仍以圖8-5-3所示電路為例,將直流電壓源改為正弦交流電壓源,當后,由KVL得到電路的微分方程為:

(式8-5-19)

初始條件仍是。如前所述,非齊次微分方程的全解是特解與通解之和,即:

(式8-5-19)右邊是正弦函數,特解也是正弦函數,特解就是正弦交流激勵下的穩態(tài)電流,可用相量求解:

式中:

,

(式8-5-20)

暫態(tài)電流仍為:

(式8-5-21)

于是全解為:

(式8-5-22)

根據換路定則:

由(式8-5-22):

因而:

最終得到:

(式8-5-23)

(式8-5-24)

(式8-5-25)



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