一階電路的零輸入響應

僅含一個(gè)獨立儲能元件的電路稱(chēng)為一階電路。當電路中沒(méi)有激勵，僅由儲能元件的初始儲能引起的響應，稱(chēng)為零輸入響應。

一、RC電路的零輸入響應

如圖8-4-1所示電路，開(kāi)關(guān)S原在位置1，電路已達穩態(tài)，電壓源電壓為，則。在時(shí)刻，S由1切換至2，下面推求零輸入響應、。

圖8-4-1

當，S切換至2后，由得：

（式8-4-1）

將代入上式得：

（式8-4-2）

（式8-4-2）是一個(gè)一階線(xiàn)性常系數齊次微分方程，其特征方程為：

特征根為：

齊次方程的通解為：

（式8-4-3）

（式8-4-3）中的積分常數A由初始條件確定。由換路定則得：，代入（式8-4-3），則有：

于是：

（式8-4-4）， （式8-4-5）

（式8-4-5）中的負號表示實(shí)際的電容放電電流方向與假設的參考方向相反。還可以這樣求，即：

圖8-4-2繪出了、的曲線(xiàn)圖，它們都按指數規律衰減。

圖8-4-2

在（式8-4-4）和（式8-4-5）中，含，具有時(shí)間的量綱，因而稱(chēng)為電路的時(shí)間常數。當C為1法拉，R為1歐姆時(shí)，為1秒。時(shí)間常數的大小反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。越大，過(guò)渡過(guò)程維持的時(shí)間越長(cháng)、過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行得越慢；越小，過(guò)渡過(guò)程維持的時(shí)間越短、過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行得越快。

下面以電容電壓的衰減曲線(xiàn)為例，介紹求時(shí)間常數的圖解法。在圖8-4-3中，從衰減曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P作切線(xiàn)，它與t軸的交點(diǎn)為，從P點(diǎn)作t軸的垂直線(xiàn)，與t軸的交點(diǎn)為P’，則：

通過(guò)實(shí)驗得出或i的衰減曲線(xiàn)，再由圖解法求出，這在實(shí)際工作中是一種有用的方法。

圖8-4-3

時(shí)間常數的大小取決于電路的結構和參數，而與激勵無(wú)關(guān)。串聯(lián)電路的時(shí)間常數。R、C愈大，愈大。當R一定、C愈大，則電容C上儲存的初始能量越大，放電時(shí)間愈長(cháng)；當C一定、R愈大，則放電電流愈小，放電時(shí)間愈長(cháng)。

二、電路的零輸入響應

如圖8-4-4所示電路，電壓源電壓為，開(kāi)關(guān)S原置于位置1，且電路已達穩態(tài)，此時(shí)電感相當于短接，。當時(shí)，開(kāi)關(guān)S由1切換至2，求零輸入響應、。

圖8-4-4

開(kāi)關(guān)切換至2后，如圖8-4-4選定參考方向，由得到：

（式8-4-7）

（式8-4-7）是一個(gè)一階線(xiàn)性常系數齊次微分方程，其特征方程為：

特征根為：

（式8-4-8）

齊次方程的通解為：

（式8-4-9）

（式8-4-9）中的積分常數A由初始條件確定。

由換路定則：

（式8-4-10）

由（式8-4-9）：

于是：

， （式8-4-11）

可見(jiàn)換路后，電流從初值按指數規律衰減，最終衰減至零，如圖8-4-5所示。

圖8-4-5

電阻電壓：

（式8-4-12）

電感電壓：

（式8-4-13）

、相差一個(gè)負號，兩者的變化規律都與電流相同。它們隨時(shí)間變化曲線(xiàn)亦示于圖8-4-5中。

在（式8-4-11）至（式8-4-13）中，含，具有時(shí)間的量綱，當R為1歐姆，L為1亨利，則為1秒，與電路中的時(shí)間常數一樣，它反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。