頻率響應法-- 頻域性能指標和時(shí)域性能指標的關(guān)

頻率響應法是通過(guò)系統的開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的一些特征量間接地表征系統瞬態(tài)響應的性能，因而這些特征量又被稱(chēng)為頻域性能指標。常用的頻域性能指標包括：開(kāi)環(huán)頻率特中的相位裕量、增益裕量；閉環(huán)頻率特中的諧振峰值、頻帶寬度和諧振頻率等。在時(shí)域分析中，控制系統包括靜態(tài)性能指標和動(dòng)態(tài)性能指標。雖然這些頻域性能指標沒(méi)有時(shí)域性能指標那樣直觀(guān)，但對于二階系統而言，它們與時(shí)域性能指標間有著(zhù)確定的對應關(guān)系；在高階系統中，只要存在一對閉環(huán)主導極點(diǎn)，則它們也有著(zhù)近似的對應關(guān)系。

5.6.1 開(kāi)環(huán)頻率特性中相位裕量與時(shí)域性能指標的關(guān)系

關(guān)于開(kāi)環(huán)頻率特性低頻段與閉環(huán)系統靜態(tài)性能的關(guān)系我們在5.3.4中已作了分析，此處我們著(zhù)重研究二階系統的相位裕量 、剪切頻率 與阻尼比間的關(guān)系。

當 時(shí)， ，即

求解上式，得

(5-60)

據此求得 的相角為

(5-61)

由相位裕量的定義得

(5-62)

圖5－59為 與 的關(guān)系曲線(xiàn)。

1、 與超調量的關(guān)系

在前面第三章已知，超調量 和阻尼比 之間的定量關(guān)系為

(5-63)

將式（5－62）和式（5－63）的函數關(guān)系，以 為橫坐標， 和 為縱坐標，繪制于同一張圖上，如圖5－60所示。這樣，根據給定的相位裕量 就可由圖5－60直接得到時(shí)域特性的最大超調量 。反之，當要求超調量不超過(guò)某一允許的 值時(shí)，也可以從圖5－60中求得應有的相信裕量 。

2、 與調整時(shí)間的關(guān)系

相位裕量 與調整時(shí)間 之間的定量關(guān)系。仍以二階系統為例，在第三章已求得調整時(shí)間 的近似表達式

(5-64)

將式（5－60）代入式（5－64）可得

(5-65)

再由式（5－62）和式（5－65）可得

(5-66)

將式（5－66）的函數關(guān)系繪成曲線(xiàn)，如圖5－61所示（圖中畫(huà)的是 　的關(guān)系式）。

如果有兩個(gè)系統，其相位裕量 相同，那么他們的最大超調量 （時(shí)域）是大致相同的，但他們的調整時(shí)間 并不一定相同。由式（5－66）可知， 與剪切頻率 成反比，即越大，時(shí)域的調整時(shí)間 越短。所以剪切頻率 在頻率特性中是一個(gè)很特殊的重要參數，它不僅影響系統的相位裕量，還影響動(dòng)態(tài)過(guò)程的調整時(shí)間

上述的頻域性能與時(shí)域性能的定量關(guān)系都是基于二階系統得出來(lái)的。對于高階系統，只要存在一對閉環(huán)主導極點(diǎn)，就可以利用上述二階系統分析的一些定量關(guān)系，以簡(jiǎn)化系統的設計

5.6.2 閉環(huán)頻率特性及其特征量

由于開(kāi)環(huán)和閉環(huán)頻率特性間有著(zhù)確定的關(guān)系，因而可以通過(guò)開(kāi)環(huán)頻率特性求取系統的閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統，其閉環(huán)傳遞函數為

對應的閉環(huán)頻率特性為

(5-67)

上式描述了開(kāi)環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系。如果已知 曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，就可由式（5－67）確定閉環(huán)頻率特性曲線(xiàn)上相應的一點(diǎn)。

對于非單位反饋系統，如圖5－62a，則可先將其等效為如圖5－62b的系統，然后按上法先求圖5－62b中單位反饋系統的頻率特性 ，再與頻率特性 相乘，即可得到總的閉環(huán)頻率特性。

用這種方法逐點(diǎn)繪制閉環(huán)頻率特性曲線(xiàn)，在工程上，常用等M圓、等N圓和Nicoles圖線(xiàn)來(lái)表示閉環(huán)系統的頻率特性，并用用圖解法去繪制。顯然這是既繁瑣又費時(shí)間的工作?，F在這些工作可由計算機軟件實(shí)現，例如在Matlab中就有專(zhuān)門(mén)的繪制等M圓、等N圓和Nicoles圖線(xiàn)的函數，從而大大提高了繪圖的效率和精度。本節我們不對閉環(huán)頻率特性的繪制方法進(jìn)行研究，僅對閉環(huán)頻率特性與時(shí)間性能指標間的關(guān)系作些分析。

1． 閉環(huán)頻率特性的諧振峰值 與諧振頻率

在本章第三節，針對二階系統我們給出了二階振蕩環(huán)節的諧振峰值 和諧振頻率 的概念，閉環(huán)系統的幅值在諧振頻率 處所取得的最大值 ，稱(chēng)為諧振峰值。如圖5－63所示。

2． 截止頻率和頻帶寬度

圖5－63為 時(shí)閉環(huán)對數幅頻特性的一般形狀。當幅頻值下降到低于零頻率值以下3dB時(shí)，對應的頻率 稱(chēng)為截止頻率，即有

對應于閉環(huán)幅頻值不低于－3dB的頻率范圍 ，通常稱(chēng)為系統的頻帶寬度。系統的頻帶寬度反映了系統復現輸入信號的能力，具有寬的帶寬的系統，其瞬態(tài)響應的速度快，調整的時(shí)間也小。

例5－11　試比較兩個(gè)系統帶寬的大小，并驗證...

設有二個(gè)控制系統，它們的傳遞函數分別為

系統I：

系統Ⅱ：

試比較兩個(gè)系統帶寬的大小，并驗證具有較大帶寬的系統比具有較小帶寬的系統響應速度快，對輸入信號的跟隨性能好。

解　　圖5－64a為上述兩系統的閉環(huán)對數幅頻特性曲線(xiàn)（圖中虛線(xiàn)為其漸近線(xiàn)）。由圖可見(jiàn)，系統I的帶寬為 ，系統Ⅱ的帶寬為 ，即系統I的帶寬是系統Ⅱ帶寬的三倍。圖5－64b表示了兩系統的階躍響應曲線(xiàn)。顯然，系統I較系統Ⅱ具有較快的階躍響應，并且前者跟蹤階躍輸入的性能也明顯優(yōu)于后者。

需要指出，寬的帶寬雖然能提高系統響應的速度，但也不能過(guò)大，否則會(huì )降低系統過(guò)濾高頻噪聲的能力。因此在設計系統時(shí)，對于頻帶寬度的確定必須兼顧系統的響應速度和抗高頻干擾的要求，采取一種折衷的方案。

5.6.3 閉環(huán)頻域特性與時(shí)域響應性能指標的關(guān)系

對于二階系統，其時(shí)域響應與頻域響應之間有著(zhù)確定的對應關(guān)系。標準二階系統對應的閉環(huán)頻率特性為

(5-68)

式中

當 時(shí)，系統有諧振產(chǎn)生，由本章第三節討論可知，其諧振峰值分別為

(5-69)

(5-70)

由式（5－70）得

(5-71)

1、諧振峰值 和最大超調量 的關(guān)系

為了便于對諧振峰值 和最大超調量 作比較，把 和 與 的關(guān)系曲線(xiàn)都畫(huà)在圖5－65中。由圖可見(jiàn)， 和 均隨著(zhù) 的減小而增大。顯然，對于同一個(gè)系統，若在時(shí)域內的 大，則在頻域中的 必然也是大的；反之亦然。為了使系統具有良好的相對穩定性，在設計系統時(shí)，通常取 值在 之間，對應的 將坐落在 之間。

把式（5－70）代入式（5－63），則得

(5-72)

如果已知 ，則由上式可求得對應的 。

圖5－66 和 ， 關(guān)系

2、諧振峰值 和調整時(shí)間 、峰值時(shí)間 關(guān)系

根據在第三章中導出二階系統的上升時(shí)間和調整時(shí)間的關(guān)系式，并考慮到式（5－69），則得

(5-73)

(5-74)

由式（5－70）有：

(5-75)

(5-76)

將式（5－75）的函數關(guān)系用曲線(xiàn)表示，如圖5－66?？梢?jiàn)，峰值時(shí)間 與諧振峰值 成正比，而峰值時(shí)間 與諧振頻率 成反比。調整時(shí)間 與 和 的關(guān)系和峰值時(shí)間 與它們的關(guān)系相同。同時(shí)上述兩式表明，如果已知 和 ，就能從上述關(guān)系式中求出 和 。

3、頻帶寬度與峰值時(shí)間、調整時(shí)間的關(guān)系

根據頻帶寬度的定義，當 時(shí)，二階系統的幅頻為

求解上式，得

(5-77)

同理，注意到式（5－73）、（5－74），并對照式（5－69），則得

(5-78)

(5-79)

由式（5－78）和（5－79）可知，對于給定的 ， 和均與 成反比。這就是說(shuō)， 越大，則系統響應的速度就越快。

把式（5－70）代入式（5－78）、（5－79），可求得

(5-80)

(5-81)

上述兩式把時(shí)域性能指標 、 與頻域性能指標 和 聯(lián)系起來(lái)，如果已知 和 ，就能從上述關(guān)系式中求出 和 。

對于高階系統，系統的頻率響應與時(shí)域響應間的對應關(guān)系可通過(guò)經(jīng)驗公式聯(lián)系，也通過(guò)傅氏積分，即，

(5-82)

由于這種積分變換較復雜，因而不可能像二階系統那樣簡(jiǎn)單地描述頻域響應與時(shí)域響應間的對應關(guān)系，其積分一般借助于計算機輔助算法，且目前這些算法均比較成熟。如果高階系統中有一對共軛主導極點(diǎn)，則上述二階系統的時(shí)域響應與頻域響應間的對應關(guān)系就可近似地應用于高階系統中去。