控制系統的時(shí)域分析法--高階系統的暫態(tài)響應

控制系統的時(shí)域分析法--高階系統的暫態(tài)響應

當系統高于二階時(shí)，將其稱(chēng)為高階系統。其傳遞函數一般可以寫(xiě)成如下形式

將上式進(jìn)行因式分解，可寫(xiě)成

式中 si：傳遞函數極點(diǎn)，i=1、2、…、n；
zj：傳遞函數極點(diǎn)，j=1、2、…、m。

假定系統所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，并假定極點(diǎn)中有實(shí)數極點(diǎn)和復數極點(diǎn)，而零點(diǎn)中只有實(shí)數零點(diǎn)。當輸入為單位階躍函數時(shí)，其階躍響應的象函數為

=++

式中 m：傳遞函數零點(diǎn)總數；
n：傳遞函數極點(diǎn)總數，n=q+2r；
q：實(shí)極點(diǎn)數；
r：共軛復數極點(diǎn)的對數。

對上式求取原函數，即得高階系統的單位階躍響應：

c(t) = A ++

式中 Ai =

Dk =

θk=

sk=-

由此可見(jiàn)，高階系統的暫態(tài)響應是一階和二階系統暫態(tài)響應分量的合成?？梢缘玫饺缦陆Y論：

1.高階系統暫態(tài)響應各分量的衰減快慢由指數衰減系數si及 決定。假設系統的一對復數極點(diǎn)與虛軸間距離為 ，另一對復數極點(diǎn)與虛軸間距離是其5倍，即5 ，如按式（3-15）估算，后者對應的暫態(tài)分量衰減時(shí)間大約為前者的1/5，由此可知，系統的極點(diǎn)在s平面左半部距虛軸愈遠，相應的暫態(tài)分量衰減得愈快。

2. 高階系統暫態(tài)響應各分量的系數Ai和Dk不僅與s平面中極點(diǎn)的位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)的位置也有關(guān)。當某極點(diǎn)si愈靠近某一零點(diǎn)zj而遠離其他極點(diǎn)，同時(shí)與s平面的原點(diǎn)相距也很遠，則相應分量的系數Ai越小，該暫態(tài)分量的影響就小。若一對零、極點(diǎn)互相接近，則該極點(diǎn)對暫態(tài)響應幾乎沒(méi)有影響。極端情況，若一對零、極點(diǎn)重合（偶極子），則該極點(diǎn)對暫態(tài)響應無(wú)任何影響。若某極點(diǎn)si遠離零點(diǎn)，但距S平面原點(diǎn)較近，則相應的該分量的系數Ai就比較大，于是，該分量對暫態(tài)響應的影響就較大。因此，對于系數很小的分量以及遠離虛軸的極點(diǎn)對應的衰減很快的暫態(tài)分量?？珊雎?，于是高階系統的響應就可以用低階系統的響應去近似。

3. 如果高階系統中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)的實(shí)部的1/5還要小，并且該極點(diǎn)附近沒(méi)有零點(diǎn)，則可以認為系統的響應主要由該極點(diǎn)決定。這些對系統響應起主導作用的極點(diǎn)，稱(chēng)為系統主導極點(diǎn)。高階系統的主導極點(diǎn)常是共軛復數極點(diǎn)。如能找到一對共軛復數主導極點(diǎn)，則高階系統就可以近似地當作二階系統來(lái)分析，相應地其暫態(tài)響應性能指標都可以按二階系統來(lái)近似估計。

在設計一個(gè)高階系統的時(shí)候，常利用主導極點(diǎn)這一概念選擇系統參數，使系統具有預期的一對共軛復數主導極點(diǎn)，這樣就可以近似地用二階系統的性能指標來(lái)設計系統。詳見(jiàn)后面有關(guān)系統設計章節的內容。