控制系統的數學(xué)模型

在控制理論中，為了描述線(xiàn)性定常系統的輸入-輸出關(guān)系，最常用的函數是所謂的傳遞函數。傳遞函數的概念只適用于線(xiàn)性定常系統，在某些特定條件下也可以擴充到一定的非線(xiàn)性系統中去。

線(xiàn)性定常系統的傳遞函數，定義初始條件為零時(shí)，輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。設有一線(xiàn)性定常系統，它的微分方程是

(2-1)

式中y是系統的輸出量，x是系統的輸入量。初始條件為零時(shí)，對方程（2-1）兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，就可以得到該系統的傳遞函數為：

(2-2)

傳遞函數是一種以系統參數表示的線(xiàn)性定常系統的輸入量與輸出量之間的關(guān)系式，它表達了系統本身的特性，而與輸入量無(wú)關(guān)。傳遞函數包含著(zhù)聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但它不能表明系統的物理結構（許多物理性質(zhì)不同的系統，可以有相同的傳遞函數）。

傳遞函數分母中s的最高階數，就是輸出量最高階導數的階數。如果s的最高階數等于n，這種系統就叫n階系統。

例2-1 圖2-1所示為一彈簧阻尼系統，阻尼器是一種產(chǎn)生粘性磨擦或阻尼的裝置。它由活塞和充滿(mǎn)油液的缸體組成?；钊透左w之間的任何相對運動(dòng)，都將受到油液的阻滯，因為這時(shí)油液必須從活塞的一端，經(jīng)過(guò)活塞周?chē)拈g隙（或通過(guò)活塞上的專(zhuān)用小孔），而流到活塞的另一端。阻尼器主要用來(lái)吸收系統的能量。被阻尼器吸收的能量轉變?yōu)闊崃慷⑹У?，而阻尼器本身不貯藏任何動(dòng)能或位能。

下面來(lái)推導這一系統的傳遞函數。設系統的輸入量為外力x(t)，輸出量為質(zhì)量的位移y(t)，按下列步驟進(jìn)行推導：

1． 寫(xiě)出系統的微分方程。
2． 假設全部初始條件等于零，取微分方程的拉普拉斯變換。
3． 求輸出Y(s)與輸入量X(s)之比。這一比值就是傳遞函數。

為了推導線(xiàn)性常系數微分方程，假設阻尼器的磨擦力與 成正比，并設彈簧為線(xiàn)性彈簧，即彈簧力與y成正比。在這個(gè)系統中，m表示質(zhì)量，f表示粘性磨擦系數，而k表示彈簧剛度。
解 牛頓定律是機械系統中的基本定律。在平移系統中，牛頓定律可表示如下：

ma=ΣF=x-Fs-Ff

其中Fs=ky，

a表示加速度，f表示力。

把牛頓定律應用到這一系統可得

或

(2-3)

對方程（2-3）中每一項取拉普拉斯變換，得出

如果設初始條件等于零，即y(0)=0， (0)=0，即可得出方程（2-3）的拉普拉斯變換：

取Y(s)與X(s)之比，即可得到系統的傳遞函數：

例2-2 機械轉動(dòng)系統 設有一系統，如圖2-2所示。它由慣性負載和粘性磨擦阻尼器組成。J為轉動(dòng)慣量，f為粘性磨擦系數，ω為角速度，T為作用到系統上的轉矩。

解 對于機械轉動(dòng)系統，其運動(dòng)方程可寫(xiě)成：

其微分方程為：

（2-4）

初始條件為零時(shí)，取方程（2-4）的拉普拉斯變換：

取θ(s) 與T(s)之比，即可得到系統的傳遞函數：

例2-3

圖2-3所示為一由電感L、電阻R和電容C組成。

解: 在理想條件下，可得到此電路的電壓平衡方程式：

（2-5）

由于 式中，q為電荷量，C為電容。式（2-5）可改寫(xiě)為

初始條件為零時(shí)，取方程（2-5）的拉普拉斯變換：

取U(s)與Uc(s) 之比，即可得到系統的傳遞函數：

1. 系統的傳遞函數是一種數學(xué)模型，它表示聯(lián)系輸出變量與輸入變量的微分方程的一種運算方法。

2. 傳遞函數是系統本身的一種屬性，它與輸入量或驅動(dòng)函數的大小和性質(zhì)無(wú)關(guān)。

3. 傳遞函數包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但是它不提供有關(guān)系統物理結構的任何信息（許多物理上完全不同的系統，可以具有相同的傳遞函數，稱(chēng)之為相似系統）。

4. 如果系統的傳遞函數已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統的輸出或響應，以便掌握系統的性質(zhì)。

5. 如果不知道系統的傳遞函數，則可通過(guò)引入已知輸入量并研究系統輸出量的實(shí)驗方法，確定系統的傳遞函數。系統的傳遞函數一旦被確定，就能對系統的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行充分描述，它不同于對系統的物理描述。

6. 用傳遞函數表示的常用連續系統有兩種比較常用的數學(xué)模型，說(shuō)明如下

第一種表示方式為：

第二種表示方式也叫零極點(diǎn)增益模型，具體形式為：

這兩種模型各有不同的適用范圍，可以相互轉換，在不同的場(chǎng)合需要用不同的模型。如：在根軌跡分析中，用零極點(diǎn)模型就比較合適。 相似系統 相似系統這一概念，在實(shí)踐中是很有用的，因為一種系統可能比另一種系統更容易通過(guò)實(shí)驗來(lái)處理。例如，可以通過(guò)建造和研究一個(gè)與機械系統相似的電模擬系統來(lái)代替對機械系統的制造和研究，因為一般來(lái)說(shuō)，電的或電子的系統更容易通過(guò)實(shí)驗進(jìn)行研究。表2-1所示為相似系統的相似變量。

y=f(x) （2-6）

如果系統的額定工作狀態(tài)相應于 ，，那么方程（2-6）可以在該點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒級數：

式中都在x=df/dx,d²f/dx²,… 點(diǎn)進(jìn)行計算。如果x- 很小，可以忽略x- 的高階項。因此方程可以寫(xiě)成

方程（2-8）可以改寫(xiě)成

上式說(shuō)明y- 與x- 成正比。方程（2-9）就是由方程（2-6）定義的非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性數學(xué)模型。下面來(lái)研究另一種非線(xiàn)性系統，它的輸出量y是兩個(gè)輸入量x1和x2的函數，因而

為了得到這一非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性近似關(guān)系，將方程（2-10）在額定工作點(diǎn), 附近展開(kāi)成泰勒級數。這時(shí)方程（2-10）可寫(xiě)成

式中偏導數都在x₁=,x₂=上進(jìn)行計算。在額定工作點(diǎn)附近，近似將高階項忽略。于是在額定工作狀態(tài)附近，這一非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性數學(xué)模型可以寫(xiě)成

這里介紹的線(xiàn)性化方法只有在工作狀態(tài)附近才是正確的。當工作狀態(tài)的變化范圍很大時(shí)，線(xiàn)性化方程就不合適了，這時(shí)必須使用非線(xiàn)性方程。應當特別注意，在分析和設計中采用的具體數學(xué)模型，只有在一定的工作條件下才能精確表示實(shí)際系統的動(dòng)態(tài)特性，在其他工作條件下它可能是不精確的。

比例環(huán)節又稱(chēng)放大環(huán)節，其傳遞函數為

(2-11)

這表明，輸出量與輸入量成正比，動(dòng)態(tài)關(guān)系與靜態(tài)關(guān)系都一樣，不失真也不遲延，所以又稱(chēng)為"無(wú)慣性環(huán)節"或"放大環(huán)節"。比例環(huán)節的特征參數只有一個(gè)，即放大系數K。工程上如無(wú)彈性變形的杠桿傳動(dòng)、電子放大器檢測儀表、比例式執行機構等都是比例環(huán)節的一些實(shí)際例子。

2.4.2慣性環(huán)節

慣性環(huán)節又稱(chēng)非周期環(huán)節，其傳遞函數為

(2-12)

T為慣性環(huán)節的時(shí)間常數，K為比例系數。
當輸入信號為單位階躍函數時(shí)，其環(huán)節的輸出為

它是一條指數曲線(xiàn)，當時(shí)間t=3T~4T時(shí)，輸出量才接近其穩態(tài)值。實(shí)際系統中，慣性環(huán)節是比較常見(jiàn)的，例如直流電機的勵磁回路等。

2.4.3積分環(huán)節

積分環(huán)節的傳遞函數為

(2-13)

在單位階躍輸入的作用下，積分環(huán)節的輸出c(t)為

這表明，只要有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節，其輸出量就與時(shí)間成正比地無(wú)限增加。積分環(huán)節具有記憶功能，當輸入信號突然除去時(shí)，輸出總要變化下去。在控制系統設計中，常用積分環(huán)節來(lái)改善系統的穩態(tài)性能。

2.4.4微分環(huán)節

微分環(huán)節的傳遞函數為

(2-14)

理想微分環(huán)節的輸出與輸入量的變化速度成正比。在階躍輸入作用下的輸出響應為一理想脈沖（實(shí)際上無(wú)法實(shí)現），由于微分環(huán)節能預示輸出信號的變化趨勢，所以常用來(lái)改善系統的動(dòng)態(tài)特性。

實(shí)際上可實(shí)現的微分環(huán)節都具有一定的慣性，其傳遞函數如下：

它有一個(gè)負極點(diǎn)和一個(gè)位于S平面原點(diǎn)的零點(diǎn)。實(shí)際微分環(huán)節在單位階躍輸入作用下的輸出響應為

2.4.5振蕩環(huán)節

振蕩環(huán)節的傳遞函數為

(2-15)

或

式中，T為振蕩環(huán)節的時(shí)間常數；K為放大系數；ζ為振蕩環(huán)節的阻尼比； 稱(chēng)為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。

2.4.6延遲環(huán)節

延遲環(huán)節的傳遞函數為

(2-16)

延遲環(huán)節在單位階躍輸入作用下的輸出響應為c(t)=1(t-T)

即輸出完全復現輸入，只是延遲了T時(shí)間。T為延遲環(huán)節的特征參數，稱(chēng)為"延遲時(shí)間"或"滯后時(shí)間"。

以上介紹了六種典型環(huán)節，這是控制系統中最見(jiàn)的基本環(huán)節

方塊圖 :
系統方塊圖，是系統中每個(gè)元件的功能和信號流號的圖解表示。方塊圖表明了系統中各種元件間的相互關(guān)系。方塊圖優(yōu)于純抽象的數學(xué)表達式，因為它能夠清楚地表明實(shí)際系統中的信號流動(dòng)情況。

在方塊圖中，通過(guò)函數方塊，可以將所有的系統變量聯(lián)系起來(lái)。"函數方塊"或簡(jiǎn)稱(chēng)為"方塊"，是對加到方塊上的輸入信號的一種運算符號，運算結果以輸出量表示。元件的傳遞函數，通常寫(xiě)進(jìn)相應的方塊中，并以標明信號流向的箭頭，將這些方塊連接起來(lái)。應當指出，信號只能沿箭頭方向通過(guò)。這樣，控制系統的方塊圖就清楚地表示了它的單向特性。

T為慣性環(huán)節的時(shí)間常數，K為比例系數。
當輸入信號為單位階躍函數時(shí)，其環(huán)節的輸出為

圖2-4表示了一個(gè)方塊圖單元。指向方塊的箭頭表示輸入，而從方塊出來(lái)的箭頭則表示輸出。在這些箭頭上標明了相應的信號。

應當指出，方塊輸出信號等于輸入信號與方塊中傳遞函數的乘積。

用方塊圖表示系統的優(yōu)點(diǎn)是：只要依據信號的流向，將各元件的方塊連結起來(lái)，就能夠容易地組成整個(gè)系統的方塊圖，通過(guò)方塊圖，還可以評價(jià)每一個(gè)元件對系統性能的影響。

總之，方塊圖比物理系統本身更容易體現系統的函數功能。方塊圖包含了與系統動(dòng)態(tài)特性有關(guān)的信息，但它不包括與系統物理結構有關(guān)的信息。因此，許多完全不同和根本無(wú)關(guān)的系統，可以用同一個(gè)方塊圖來(lái)表示。

應當指出，在方塊圖中沒(méi)有明顯表示出系統的主能源，而且對于一定的系統來(lái)說(shuō)，方塊圖也不是唯一的。由于分析角度的不同，對于同一個(gè)系統，可以畫(huà)出許多不同的方塊圖。

誤差檢測器 誤差檢測器產(chǎn)生的輸出信號，等于控制系統的參考輸入信號與反饋信號之差。在設計中，選擇誤差檢測器是一件很重要的工作，需要仔細確定。因為誤差檢測器中的任何缺陷，都必然會(huì )降低整個(gè)系統的性能。圖2-5表示了誤差檢測器的方塊圖。

需要注意的是，圖中進(jìn)行相加或相減的一些量，應具有相同的量綱和單位。

閉環(huán)系統方塊圖 在圖2-6上，表示了一個(gè)閉環(huán)系統的方塊圖。輸出量C(s)反饋到相加點(diǎn)，并且在相加點(diǎn)與參考輸入量R(s)進(jìn)行比較。系統的閉環(huán)性質(zhì)，在圖上清楚地表示了出來(lái)。在這種情況下，方塊的輸出量C(s)，等于方塊的輸入量E(s)乘以傳遞函數G(s)。

任何線(xiàn)性控制系統，都可以用由方塊、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)組成的方塊圖來(lái)表示。所謂分支點(diǎn)，就是由方塊出來(lái)的輸出信號，從這一點(diǎn)起同時(shí)進(jìn)入另一個(gè)方塊或相加點(diǎn)。

當輸出量反饋到相加點(diǎn)與輸入量進(jìn)行比較時(shí)，必須將輸出信號轉變?yōu)榕c輸入信號相同的形式。例如，在溫度控制系統中，輸出信號通常為被控溫度。具有溫度量綱的輸出信號，在與輸入信號進(jìn)行比較之前，必須轉變?yōu)榱蛭恢?。這種轉換由反饋元件來(lái)完成，反饋元件的另一個(gè)重要作用，是在輸出量與輸入量進(jìn)行比較之前，改變輸出量。對于正在討論的例子，反饋到相加點(diǎn)與輸入量進(jìn)行比較的反饋信號為B(s)=H(s)C(s)。

反饋信號B(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做開(kāi)環(huán)傳遞函數。即

輸出量C(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做前向傳遞函數，因而

如果反饋傳遞函數等于1，那么開(kāi)環(huán)傳遞函數與前向傳遞函數相同。在圖2-6所示系統中，輸出量C(s)與輸入量R(s)的關(guān)系，可推導如下：

C(s)=G(s)E(s)
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

從上述方程中消去E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

于是可得

(2-17)

C(s)與R(s)之間的傳遞函數，叫做閉環(huán)傳遞函數。這一傳遞函數，將閉環(huán)系統的動(dòng)特性，與前向通道元件和反饋通道元件的動(dòng)態(tài)特性聯(lián)系在一起了。

由方程（2-17），可求得C(s)為

因此，閉環(huán)系統的輸出量，顯然取決于閉環(huán)傳遞函數和輸入量的性質(zhì)。

擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統 圖2-7為一個(gè)在擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統。當兩個(gè)輸入量（參考輸入量和擾動(dòng)量）同時(shí)作用于線(xiàn)性系統時(shí)，可以對每一個(gè)輸入量單獨地進(jìn)行處理，將與每一個(gè)輸入量單獨作用時(shí)相應的輸出量疊加，即可得到系統的總輸出量。每個(gè)輸入量加進(jìn)系統的形式，用相加點(diǎn)上的加號或減號來(lái)表示。

現在來(lái)討論圖2-7上表示的系統。在研究擾動(dòng)量N(s)對系統的影響時(shí)，可以假設系統在開(kāi)始時(shí)是靜止的，并且假設無(wú)誤差信號，這樣就可以單獨計算系統對擾動(dòng)的響應CN(s)。這一響應可由下式求得：

另一方面，在研究系統對參考輸入量的響應時(shí)，可以假設擾動(dòng)量等于零。這時(shí)系統對參考輸入量R(s)的響應CR(s)可由下式求得：

將上述兩個(gè)單獨的響應相加，就可以得到參考輸入量和擾動(dòng)量同時(shí)作用時(shí)的響應。換句話(huà)說(shuō)，參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)同時(shí)作用于系統時(shí)，系統的響應C(s)為

另一方面，當G1(s)G2(s)H(s)的增益增大時(shí)，閉環(huán)傳遞函數CR(s)/R(s)趨近于1/H(s)。這表明，當 >>1時(shí)，閉環(huán)傳遞函數CR(s)/R(s)將變成與G1(s)和G2(s)無(wú)關(guān)，而只與H(s)成反比關(guān)系，因此G1(s)和G2(s)的變化，不影響閉環(huán)傳遞函數CR(s)/R(s)。這是閉環(huán)系統的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)?？梢匀菀椎乜闯觯喝魏伍]環(huán)系統，當反饋傳遞函數H(s)=1時(shí)，系統的輸入量與輸出量相等。

畫(huà)方塊圖的步驟 在繪制系統的方塊圖時(shí)，首先列寫(xiě)描述每一個(gè)元件動(dòng)態(tài)特性的方程式。然后假定初始條件等于零，對這些方程式進(jìn)行拉普拉斯變換，并將每一個(gè)拉普拉斯變換方程分別以方塊的形式表示出來(lái)。最后將這些方塊單元結合在一起，以組成完整的方塊圖。

方塊圖的簡(jiǎn)化 應當強調指出，只有當一個(gè)方塊的輸出量不受其后的方塊影響時(shí)，才能夠將它們串聯(lián)連接。如果在這些元件之間存在著(zhù)負載效應，就必需將這些元件歸并為一個(gè)單一的方塊。
任意數量串聯(lián)的、表示無(wú)負載效應元件的方塊，可以用一個(gè)單一的方塊代替，它的傳遞函數，就等于各單獨傳遞函數的乘積。

一個(gè)包含著(zhù)許多反饋回路的復雜的方塊圖，可以應用方塊圖的代數法則，經(jīng)過(guò)逐步重新排列和整理而得到簡(jiǎn)化。在表2-1中，列舉了一些比較常見(jiàn)的方塊圖代數法則。這些代數法則說(shuō)明，同一個(gè)方程式可以用不同的方法表示。通過(guò)重新排列和代換，將方塊圖簡(jiǎn)化后，可以使以后的數學(xué)分析工作很容易進(jìn)行。但是應當指出，當方塊圖得到簡(jiǎn)化后，新的方塊卻變得更加復雜了，因為產(chǎn)生了新的極點(diǎn)和零點(diǎn)。

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在方塊圖簡(jiǎn)化過(guò)程中，應記住以下兩條原則：

1．前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變；
2．回路中傳遞函數的乘積必須保持不變。

方塊圖簡(jiǎn)化的一般法則是移動(dòng)分支點(diǎn)和相加點(diǎn)，交換相加點(diǎn)，減少內反饋回路。下面舉例說(shuō)明方塊圖的變換和化簡(jiǎn)。