單邊帶調制中的相位法與希爾伯特變換

單邊帶（SSB）調制通過(guò)抑制上邊帶或下邊帶來(lái)提高帶寬利用率。本文將解析無(wú)需使用銳截止濾波器即可實(shí)現該技術(shù)的電路原理與數學(xué)基礎。 

1915年，約翰·倫肖·卡森提交了美國首個(gè)單邊帶調制專(zhuān)利申請。他提出的濾波法通過(guò)對雙邊帶（DSB）信號進(jìn)行濾波來(lái)消除其中一個(gè)邊帶。但由于DSB信號上下邊帶間隔極小，這種方法需要極其陡峭的濾波器。 

1924年，卡森的同事拉爾夫·V·L·哈特利提出了第二種方案——相位法，通過(guò)改進(jìn)電路結構而非依賴(lài)輸出端帶通濾波器來(lái)消除目標邊帶。該方法無(wú)需使用高選擇性帶通濾波器。 

本文將深入探討相位法，并闡釋希爾伯特變換的關(guān)鍵作用。這種在信號處理中廣泛應用的數學(xué)工具，能對輸入信號的各頻率分量施加寬帶90度相移，是實(shí)現相位法的核心所在。 

雙邊帶調制回顧 

以單頻輸入信號為例，設基帶信號為： 

公式1

其頻譜由±fm處的兩個(gè)沖激組成： 

公式2

采用抑制載波的雙邊帶（DSB-SC）調制時(shí)，載波信號

公式3

與基帶信號相乘后產(chǎn)生： 

公式4

圖1展示了單頻輸入時(shí)的DSB-SC信號頻譜，其中USB和LSB分別表示上下邊帶。 

相位法基本原理

圖1 

SSB調制的核心在于僅保留和頻（USB）或差頻（LSB）分量。根據三角恒等式展開(kāi)： 

公式5

要實(shí)現該式，需從m(t) = cos(ωmt)生成sin(ωmt)。

由于

公式6

因此需要精確的-90度移相網(wǎng)絡(luò )。

圖2展示了基于該原理的SSB調制器框圖，通過(guò)選擇加法器或減法器可分別生成下邊帶或上邊帶。

圖2 

 希爾伯特變換 

希爾伯特變換得名于德國杰出數學(xué)家大衛·希爾伯特，其開(kāi)創(chuàng )性工作對數學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。他不僅創(chuàng )立了希爾伯特空間理論，更為泛函分析奠定了重要基礎。 

該變換將所有正頻率分量相移-90度，負頻率分量相移+90度，同時(shí)保持頻譜幅值不變。從頻域看，希爾伯特變換相當于一個(gè)具有如下響應的線(xiàn)性濾波器： 

公式7

圖3展示了該變換的幅頻與相頻特性。 

圖3

時(shí)域中的希爾伯特變換 

其沖激響應為： 

公式8

 余弦/正弦函數的變換驗證 

雖然希爾伯特變換對正負頻率分量的差異化處理看似復雜，但通過(guò)歐拉公式可直觀(guān)驗證其對余弦函數的變換效果。對于實(shí)余弦信號： 

公式9

方程右側的第一項表示正頻率。它經(jīng)歷了 –90 度的相移。第二項對應于負頻率，并在相位上偏移 +90 度。cos（?mt） 和 sin（?mt） 的計算方法如下： 

公式10

同理可證： 

公式11

這一特性表明：若  mh(t)是(?mt)的希爾伯特變換，則對 mh(t) 再次變換將得到 -mh(t) 。 

 在SSB調制中的應用 

圖4展示了相位法的完整實(shí)現架構： 

圖4

1. 主通路：基帶信號$m(t)$與載波直接調制 

2. 正交通路：$m(t)$與載波分別經(jīng)希爾伯特變換后調制 

兩路信號合成時(shí)，相位差導致目標邊帶相消。實(shí)際系統中： 

- 移相網(wǎng)絡(luò )采用無(wú)源電路或數字信號處理實(shí)現 

- 乘法器多使用平衡調制器結構 

- 載波抑制度取決于調制器平衡精度 

- 邊帶抑制效果由移相模塊決定 

SSB信號的時(shí)域表達式為： 

公式12

其中mh(t） 為 m（t）的希爾伯特變換，"+"生成下邊帶，"-"生成上邊帶（假設載波幅度c= 1 。 

總結 

相位法首先生成小功率SSB信號，再通過(guò)線(xiàn)性射頻放大器提升至發(fā)射功率。該方法的優(yōu)勢在于通過(guò)精確相位控制實(shí)現邊帶選擇，避免了傳統濾波法對陡峭濾波器的依賴(lài)。后續將通過(guò)圖解方式進(jìn)一步解析其工作原理。 

（注：所有數學(xué)符號保留原格式，關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)如"平衡調制器"等采用通信領(lǐng)域標準譯法，公式編號與原文保持一致。）