正弦波形

正弦交流波形是隨時(shí)間變化的周期性波形，其參數包括電壓和頻率

正弦波形是一種周期性波形，其形狀可通過(guò)三角學(xué)中的正弦或余弦函數繪制。由正弦波形供電的電路，其極性每周期變化一次，通常稱(chēng)為"交流"(AC)電壓和電流源。

當電流流過(guò)導線(xiàn)或導體時(shí)，會(huì )在導線(xiàn)周?chē)纬森h(huán)形磁場(chǎng)，其強度與電流值相關(guān)。若使單根導線(xiàn)在靜止磁場(chǎng)中移動(dòng)或旋轉，由于導體切割磁力線(xiàn)，導體內部會(huì )感應出"電動(dòng)勢"(EMF)。

由此可見(jiàn)，電與磁之間存在關(guān)聯(lián)性，正如邁克爾·法拉第發(fā)現的"電磁感應"效應。這一基本原理被電機和發(fā)電機用來(lái)產(chǎn)生我們日常使用的正弦交流電。

旋轉線(xiàn)圈

在電磁感應教程中我們提到，當單根導線(xiàn)切割永磁場(chǎng)的磁力線(xiàn)時(shí)，內部會(huì )感應出電動(dòng)勢。

然而，當旋轉導體在A(yíng)、B兩點(diǎn)位置與磁場(chǎng)平行移動(dòng)時(shí)，沒(méi)有切割任何磁力線(xiàn)，因此不會(huì )產(chǎn)生感應電動(dòng)勢。當導體在C、D兩點(diǎn)位置與磁場(chǎng)垂直移動(dòng)時(shí)，切割的磁力線(xiàn)數量最多，產(chǎn)生的感應電動(dòng)勢也最大。

此外，導體在A(yíng)、C兩點(diǎn)之間(0-90°)以不同角度切割磁場(chǎng)時(shí)，感應電動(dòng)勢的大小將介于零到最大值之間。因此，導體中的感應電動(dòng)勢大小取決于導體與磁力線(xiàn)的夾角以及磁場(chǎng)強度。

交流發(fā)電機利用法拉第電磁感應原理，將旋轉等機械能轉化為電能——即正弦波形。簡(jiǎn)單發(fā)電機由一對永磁體組成，在南北極之間形成固定磁場(chǎng)。磁場(chǎng)內放置一個(gè)可繞固定軸旋轉的矩形導線(xiàn)環(huán)，使其能以不同角度切割磁力線(xiàn)，如下圖所示。

基礎單線(xiàn)圈交流發(fā)電機

(此處插入交流發(fā)電機示意圖)

當線(xiàn)圈沿垂直于磁場(chǎng)的中心軸逆時(shí)針旋轉時(shí)，導線(xiàn)環(huán)以不同角度切割南北極之間的磁力線(xiàn)。任意時(shí)刻線(xiàn)圈中的感應電動(dòng)勢大小與導線(xiàn)環(huán)的旋轉角度成正比。

隨著(zhù)導線(xiàn)環(huán)旋轉，電子沿環(huán)向一個(gè)方向流動(dòng)。當導線(xiàn)環(huán)旋轉超過(guò)180°點(diǎn)反向切割磁力線(xiàn)時(shí)，電子流動(dòng)方向隨之改變，從而改變感應電壓的極性。

由此可見(jiàn)，線(xiàn)圈每完成360°完整旋轉，就產(chǎn)生一個(gè)完整周期的正弦波形。線(xiàn)圈在磁場(chǎng)中旋轉時(shí)，通過(guò)碳刷和滑環(huán)將感應電流導出。

線(xiàn)圈切割磁力線(xiàn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢大小由以下三個(gè)因素決定：

1.轉速——線(xiàn)圈在磁場(chǎng)中的旋轉速度

2.強度——磁場(chǎng)的強度

3.長(cháng)度——切割磁場(chǎng)的線(xiàn)圈或導體長(cháng)度

我們知道電源頻率是指每秒出現的周期數，單位為赫茲(Hz)。如上所示，線(xiàn)圈在包含南北極的磁場(chǎng)中每旋轉一圈產(chǎn)生一個(gè)感應電動(dòng)勢周期，若保持恒定轉速，則每秒產(chǎn)生固定數量的周期，從而形成恒定頻率。因此提高線(xiàn)圈轉速將增加頻率。故頻率與轉速成正比(?∝Ν)，其中Ν=轉/分鐘(r.p.m)。

此外，我們簡(jiǎn)單的單線(xiàn)圈發(fā)電機僅有兩個(gè)磁極(一北極一南極)，即一對磁極。若增加磁極數量至四個(gè)(兩北極兩南極)，則在相同轉速下每轉可產(chǎn)生兩個(gè)周期。因此頻率與磁極對數成正比(?∝P)，其中P="磁極對數"。

綜上可得交流發(fā)電機的頻率輸出公式：

其中：Ν為轉速(r.p.m)，P為"磁極對數"，60用于轉換為秒。

瞬時(shí)電壓

線(xiàn)圈中任意時(shí)刻的感應電動(dòng)勢取決于切割磁力線(xiàn)的速率，即與發(fā)電裝置的旋轉角度θ相關(guān)。由于交流波形持續變化其幅值，每個(gè)瞬間的波形值都不相同。

例如，1ms時(shí)刻的值與1.2ms時(shí)刻的值就不同。這些值統稱(chēng)為瞬時(shí)值(Vi)。瞬時(shí)波形值及其方向隨線(xiàn)圈在磁場(chǎng)中的位置而變化，如下圖所示。

線(xiàn)圈在磁場(chǎng)中的位移

(此處插入線(xiàn)圈位移示意圖)

正弦波形的瞬時(shí)值計算公式為："瞬時(shí)值=最大值×sinθ"，通用公式表示為：

其中Vmax為線(xiàn)圈中感應的最大電壓，θ=ωt表示線(xiàn)圈隨時(shí)間變化的旋轉角度。

若已知波形峰值，通過(guò)上述公式可計算出波形各點(diǎn)的瞬時(shí)值。將這些值繪制在坐標紙上，即可構建出正弦波形。

為簡(jiǎn)化計算，我們按每45°旋轉角取一個(gè)瞬時(shí)值(共8個(gè)點(diǎn))，并假設最大電壓Vmax=100V。若采用更小間隔(如每30°取12個(gè)點(diǎn)或每10°取36個(gè)點(diǎn))繪制，得到的正弦波形會(huì )更精確。

正弦波形構建

(此處插入正弦波形圖)

通過(guò)將0°-360°旋轉位置投影到波形縱坐標上獲得各點(diǎn)。當導線(xiàn)環(huán)或線(xiàn)圈完成360°完整旋轉時(shí)，即產(chǎn)生一個(gè)完整波形。

從正弦波形圖可見(jiàn)：當θ=0°、180°或360°時(shí)，因切割的磁力線(xiàn)最少，感應電動(dòng)勢為零；當θ=90°和270°時(shí)，因切割的磁力線(xiàn)最多，感應電動(dòng)勢達到峰值。

因此正弦波形在90°處有正峰值，270°處有負峰值。B、D、F、H各點(diǎn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢符合公式：e=Vmax.sinθ。

這種由簡(jiǎn)單單環(huán)發(fā)電機產(chǎn)生的波形因其形狀符合正弦函數而被稱(chēng)為正弦波。數學(xué)上表示為x(t)=Amax.sinθ。

處理時(shí)域中的正弦波(尤其是電流相關(guān)正弦波)時(shí)，橫軸單位可采用時(shí)間、角度或弧度。電氣工程中更常用弧度而非角度作為水平軸的角度量單位，例如ω=100rad/s或500rad/s。

弧度

弧度(rad)的數學(xué)定義是：圓的象限弧長(cháng)等于該圓半徑(r)時(shí)的圓心角。由于圓周長(cháng)為2π×半徑，故360°圓周包含2π弧度。

換言之，弧度是角度測量單位，1弧度(r)對應的弧長(cháng)在圓周上恰好出現2π(約6.284)次。因此1弧度=360°/2π=57.3°。在電氣工程中弧度使用非常普遍，需牢記以下公式：

弧度定義

(此處插入弧度定義圖示)

使用弧度作為正弦波形的測量單位時(shí)，360°完整周期對應2π弧度，半個(gè)正弦波形對應1π弧度(即π)。已知π≈3.142，因此正弦波形的角度與弧度轉換關(guān)系為：

角度與弧度關(guān)系

應用這兩個(gè)公式可得波形各點(diǎn)對應值：

(此處插入正弦波形弧度對應圖)

常見(jiàn)正弦分析中角度與弧度的換算關(guān)系如下表：

角度與弧度對照表

發(fā)電機繞中心軸的旋轉速度決定了正弦波的頻率。當波形頻率為?赫茲(Hz)或周/秒時(shí)，波形還具有角頻率ω(單位：弧度/秒)。正弦波的角速度公式為：

在英國，電網(wǎng)的角速度或角頻率為：

在美國，因電網(wǎng)頻率為60Hz，故為：377rad/s

至此我們明白：發(fā)電機繞中心軸的旋轉速度決定了正弦波的頻率(即角速度ω)。同時(shí)還應知道，完成一整圈旋轉所需時(shí)間等于正弦波的周期(T)。

由于頻率與周期成反比(?=1/T)，可將頻率量替換為周期量，得到：

該式表明：正弦波的周期越短，角速度必須越大。同理，頻率越高，角速度也越高。

正弦波形示例1

已知正弦波形定義為：Vm=169.8sin(377t)伏特。計算該波形的：

1.RMS電壓

2.頻率

3.6毫秒(6ms)時(shí)的瞬時(shí)電壓值(Vi)

由正弦波通用表達式：

與給定表達式Vm=169.8sin(377t)對比可知：

峰值電壓Vmax=169.8V

RMS電壓計算為：

已知角速度ω=377rad/s，由2π?=377得頻率：

6ms時(shí)的瞬時(shí)電壓值：

注：t=6ms時(shí)的角速度以弧度表示。如需轉換為角度值計算瞬時(shí)電壓，轉換公式為：

因此正弦波分析計算的通用格式如下：

(此處插入正弦波分析通用格式圖示)

在下一篇關(guān)于相位差的教程中，我們將探討兩個(gè)同頻率正弦波之間的關(guān)系，它們以不同時(shí)間間隔通過(guò)水平零軸。