抗混疊濾波器：將采樣理論應用于 ADC 設計

到目前為止，我們已經(jīng)探討了奈奎斯特-香農定理的理論基礎，包括頻域對采樣的影響。然后我們談到了這些基本原則如何應用于現實(shí)生活中的電路設計——具體來(lái)說(shuō)，解決了 現實(shí)生活中混合信號系統中過(guò)采樣的重要性。

到目前為止，我們已經(jīng)探討了奈奎斯特-香農定理的理論基礎，包括頻域對采樣的影響。然后我們談到了這些基本原則如何應用于現實(shí)生活中的電路設計——具體來(lái)說(shuō)，解決了 現實(shí)生活中混合信號系統中過(guò)采樣的重要性。
在整個(gè)系列中，我使用的采樣定理版本指出，當采樣率等于或大于原始信號中頻率的兩倍時(shí)，完美重建是可能的——不是感興趣的頻率，也不是主頻率，但頻率。
這個(gè)看似無(wú)害的小細節實(shí)際上在理論采樣和現實(shí)生活中的 A/D 轉換之間造成了重大裂痕。
您的信號的頻率是多少？
采樣定理的個(gè)問(wèn)題是您永遠無(wú)法以頻率的兩倍進(jìn)行采樣：由于熱噪聲在太赫茲范圍內具有恒定的功率譜密度，每個(gè)信號的帶寬都遠遠超過(guò)模擬信號的能力- 到數字轉換器。
當然，我并不是說(shuō)所有信號在 1 THz 下都有一點(diǎn)噪聲，因此混合信號電子設備不存在。相反，我試圖戲劇性地證明不可能查看信號的傅里葉變換，繪制一條垂直線(xiàn)，并聲明該線(xiàn)右側的頻譜完全為空。
噪聲、干擾和自然現象的逐漸變化特征都會(huì )導致信號頻譜沒(méi)有容易識別的頻率。
高頻元件和混疊
為什么我們不能忽略那些麻煩的頻率分量呢？我們不打算將它們數字化，我們不需要分析或記錄它們——讓我們忘記它們，根據我們想要的頻率選擇采樣率吧！
我希望事情就這么簡(jiǎn)單，但我們必須記住，當模擬輸入頻率超過(guò)采樣頻率的一半時(shí)會(huì )導致混疊——順便說(shuō)一下，這有時(shí)被稱(chēng)為折疊頻率，因為高于該頻率的分量會(huì )圍繞采樣頻率折疊從而與原始光譜重疊。我們不能簡(jiǎn)單地忽略折疊頻率以上的成分，因為它們會(huì )與感興趣的頻率混合，從而消除我們完美重建原始信號的能力。
考慮下圖：

假設頻譜的主要鐘形部分包含感興趣的頻率，逐漸向零衰減的低幅度尾部代表不重要的高頻分量。
該系統中選擇的采樣率足以捕獲感興趣的頻率，但我們不能忽略不重要的頻率，因為混疊會(huì )導致不重要的頻率延伸到我們想要準確重建的頻譜部分并使其失真。
然而，這種忽略不重要頻率的想法實(shí)際上是我們如何在工程系統中處理這個(gè)問(wèn)題的基礎。歸根結底，我們必須忽略不需要的高頻，因為我們無(wú)法完全消除它們。但在我們忽略它們之前，我們至少應該做出一些努力來(lái)減輕它們對系統性能的有害影響。
這就是抗混疊濾波器發(fā)揮作用的地方。
采樣前過(guò)濾
香農采樣定理指定了相對于信號頻率的可接受采樣率。另一種說(shuō)法是，香農給了我們帶限信號的采樣率要求，即傅立葉變換具有可識別上限的信號。
我們在物理電路中發(fā)現的信號并不是真正的帶限信號，但我們無(wú)論如何都要對它們進(jìn)行采樣，因此，我們將嘗試使它們成為帶限信號。這就是抗混疊濾波器的目的。
通過(guò)在采樣前讓信號通過(guò)低通濾波器，我們可以衰減指定頻率以上的頻譜內容，從而創(chuàng )建頻率上限。

信號不會(huì )完全受限，因為現實(shí)生活中的濾波器不會(huì )在截止頻率以上產(chǎn)生無(wú)限衰減。然而，它可以足夠接近帶寬限制：混疊會(huì )發(fā)生，但它對整體系統性能的影響可以忽略不計。
我們如何選擇截止頻率？
這將取決于各種因素。一般的想法是保留頻譜的重要部分并抑制不重要的部分。然后，您可以根據希望將混疊到感興趣的頻譜中的頻率分量衰減多少來(lái)選擇 ADC 采樣率。
假設您正在為抗混疊濾波器使用一階RC 低通濾波器，截止頻率為 20 kHz。頻率響應如下所示：

如果您以 100 kHz 采樣，則折疊頻率為 50 kHz：高于 50 kHz 的所有頻率都會(huì )導致混疊誤差。因此，使用這個(gè)濾波器，“混疊帶”將有 9 dB 的衰減。
夠了嗎？
這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有簡(jiǎn)單的答案，無(wú)論如何，答案取決于系統要求。 
盡管如此，我的工程直覺(jué)告訴我，我們應該努力將混疊帶的幅度降低至少一個(gè)數量級。這個(gè)一階 RC 濾波器在 200 kHz 時(shí)為我們提供 20 dB 的衰減，因此我們需要以 400 kHz 進(jìn)行采樣。在我喜歡使用的 ADC 的背景下，這是一個(gè)相當高的采樣率——即那些可以方便地集成到微控制器中的 ADC 。因此，我可能不得不放寬衰減要求，或者我可以考慮為抗混疊濾波器使用二階拓撲。
結論
顧名思義，抗混疊濾波器可減少我們對信號進(jìn)行采樣時(shí)發(fā)生的混疊量。他們通過(guò)抑制折疊頻率以上的頻譜內容來(lái)做到這一點(diǎn)，從而使現實(shí)生活中的信號與香農采樣定理適用的帶限信號更加一致。
雖然您可以通過(guò)提高采樣率來(lái)降低抗混疊濾波器的重要性，但我認為在您的 ADC 電路中始終至少包含一個(gè)基本 RC 濾波器是一種很好的做法。