系統線(xiàn)性的兩個(gè)條件

1. 背景介紹

在信號與系統課程中，講解線(xiàn)性系統需要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)特性：?一是疊加性。?當兩個(gè)輸入信號x1、x2分別引起輸出y1、y2。?那么x1+x2所引起的系統輸出等于y1+y2；第二個(gè)特性是齊次性，?輸入信號x1引起系統的輸出為 y1。?對應a倍的x1引起系統輸出是a倍的y1。?這兩個(gè)特性需要分別進(jìn)行驗證。

2. 相關(guān)舉例

關(guān)于系統的線(xiàn)性兩個(gè)條件，?在數學(xué)中的函數、映射中也有相應的討論。?疊加性和齊次性是相互獨立的兩個(gè)性質(zhì)。?通常情況下， 舉例說(shuō)明滿(mǎn)足其次關(guān)系的系統，不能滿(mǎn)足疊加性相對比較容易。?但是舉例說(shuō)明滿(mǎn)足疊加性的系統，不能滿(mǎn)足齊次性相對困難。?這主要是常見(jiàn)到的工程應用中碰到的系統大體都是實(shí)數信號，而且滿(mǎn)足連續性。?在這種情況下，滿(mǎn)足疊加性的系統往往就能夠滿(mǎn)足齊次性。

根據維基百科中關(guān)于數學(xué)中線(xiàn)性的定義，?對于限定尺度數字a為有理數時(shí)，?疊加性意味著(zhù)線(xiàn)性，并給出了簡(jiǎn)要的證明。?對于連續函數，?可以將比例系數a放寬到實(shí)數范圍。?這是根據有理數在實(shí)數范圍內具有稠密特性來(lái)決定的。

One short-of-linear functon: Does f(x+y)=f(x)+f(y) imply f(ax)=af(x)?

Additivity and Homogeneity[1]

https://www.maa.org/sites/default/files/0746834255345.di020786.02p04776.pdf

Additive but not homogeneous continuous system?[2]

https://dsp.stackexchange.com/questions/19522/additive-but-not-homogeneous-continuous-system

Wikipedia article on linear system[3]

http://en.wikipedia.org/wiki/Linearity#In_mathematics

在這篇“課堂膠囊”網(wǎng)文中，作者總結本科數學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，給出了疊加性與齊次性的討論。并給出了一些反例。如果齊次性的比例系數放寬到復數，作者給出了一個(gè)最常見(jiàn)到的映射關(guān)系。比如T7，取輸入信號的實(shí)部，它滿(mǎn)足疊加性。如果尺度數字是復數的情況下，這個(gè)映射不滿(mǎn)足其次特性。

在這篇博文中對滿(mǎn)足疊加性是否預示著(zhù)齊次性進(jìn)行了討論。作者構造了一個(gè)實(shí)數域內的一個(gè)映射，滿(mǎn)足疊加性但不滿(mǎn)足齊次性。下面我們看一下這個(gè)例子。

定義在有理數向量空間的一個(gè)映射Q。對于每一有理數對（a,b），它們對應的一個(gè)實(shí)數a加上b倍的根號2。經(jīng)過(guò)映射后等于有理數a+b，很容易驗證這個(gè)映射在向量空間Q中滿(mǎn)足疊加性。構造比例因子alpha，可以驗證在alpha尺度下，這個(gè)映射不滿(mǎn)足齊次性。

對于這個(gè)反例，作者也認為存在一定缺陷，比如這個(gè)比例因子不屬于原來(lái)向量空間Q，而是屬于向量空間Q，根號2。這個(gè)例子也說(shuō)明，構建實(shí)數域內的反例不是太容易。

3. 總結

本文討論了信號與系統中的線(xiàn)性概念。?在數學(xué)概念中，線(xiàn)性系統需要同時(shí)滿(mǎn)足疊加性和齊次性。?但在實(shí)際常見(jiàn)到的連續時(shí)間系統中， 都是實(shí)數信號，且都滿(mǎn)足連續性。?所以只要滿(mǎn)足疊加性就可以了。