搭了個(gè)蔡氏電路，體驗一下“狐貍精”

電路似文章

電路就是用電子元件寫(xiě)成的文章。電子元件像漢字，連在一起先成句，再成篇。唐詩(shī)三百，每首不過(guò)幾十個(gè)字；電路千萬(wàn)，也不過(guò)幾種基本元件。然天下電路千萬(wàn)，干嘛非要搭個(gè)“蔡氏”電路呢？ 概因普通電路都似八股文，雖起承轉折一絲不茍，然讀者卻能一眼看穿，全沒(méi)意思。而蔡氏電路則似聊齋故事，內藏狐貍精，千嬌百媚，時(shí)而花蝴蝶，時(shí)而暴風(fēng)雨，陰晴無(wú)常，套路之多竟然沒(méi)有一絲重復。引得天下老司機趨之若鷲，研究文章上萬(wàn)篇，各種科學(xué)雜志上灌水。我雖生物狗一枚，卻也難敵色誘，故在周末來(lái)趟個(gè)渾水。

千嬌百媚狐貍精

怎個(gè)叫千嬌百媚？就是電子在電路里跑的沒(méi)規律。我們都知道電路里有大批電子在跑。一個(gè)小電路，也有一億億個(gè)電子。在一般電路里，電子循規蹈矩規矩，上班一條路，回家一條路，一眼就能看到退休。而在蔡氏電路里，電子不安分，可以一桿子一桿子（一股一股）地跑，可以一會(huì )兒前進(jìn)一會(huì )兒后退，方向流量竟然無(wú)常。傾天下最強之超級計算機，也只能估計個(gè)大概，絕對不能精確推演出未來(lái)。

就有點(diǎn)像天氣預報，風(fēng)云雨雪，超級計算機只能估計個(gè)大概，超過(guò)一星期就不行了。蔡氏電路里的電流和大氣中的湍流有類(lèi)似的規律，就是所謂“混沌”行為。

湍流隨處可見(jiàn)，河水中的漩渦，香煙里的飄逸，隨處可見(jiàn)?？墒沁@些畢竟發(fā)生在野外，千奇百怪，稍縱即逝難以研究。而蔡氏電路要填補的科學(xué)空白就是在實(shí)驗室里搭上一個(gè)永不消失的漩渦，讓你看個(gè)夠。下圖顯示屏上的就是蔡氏電路產(chǎn)生的漩渦。

來(lái)自 https://www.chaotic-circuits.com/ 8-simulating-chaus-circuit-with-ltspice/

蔡氏電路的由來(lái)

蔡氏電路是受混沌大俠洛倫茲的啟示而誕生的。當年洛倫茲用計算機研究天氣預報，發(fā)現用同樣的數據，小計算機和大計算機算出來(lái)的預報竟然完全不同。這是因為小計算機精確到小數點(diǎn)后三位（不好意思，1960 年代），大計算機可以精確到六位。那么是否計算機更大就更精確呢？一般人也許就是這么想了，可是人家洛倫茲（Edward N. Lorenz）不是一般人，老北京話(huà)叫“全須兒全尾兒”的數學(xué)家，居然慧眼看出不是計算機精度的問(wèn)題，而是問(wèn)題本身的不可預測性。其不可測就是因為大氣湍流中有混沌，就是已經(jīng)被中文科普得臭了大街的“蝴蝶效應”。洛倫茲把他的想法用數學(xué)語(yǔ)言表達出來(lái)，得到洛倫茲方程（圖 1）。

圖 1 洛倫茲方程（左）和用方程畫(huà)出的曲線(xiàn)（右），確實(shí)很像一只蝴蝶

看看從洛倫茲方程跑出來(lái)的蝴蝶，比比題頭圖中示波器里的曲線(xiàn)，是不是有一種神似？蔡氏電路就是用電子元件來(lái)實(shí)現洛倫茲方程的精華。而他的發(fā)明者，華裔科學(xué)家蔡少棠（Leon O. Chua，1936-），是個(gè)像洛倫茲一樣的聰明人。洛倫茲用數學(xué)語(yǔ)言描述了這個(gè)自然界不可言傳的秘密，而蔡用電子工程的語(yǔ)言描述了同樣的理念。

說(shuō)起蔡氏電路的發(fā)明還有一段佳話(huà)。當年洛倫茲公式發(fā)表之后，日本早稻田大學(xué)的松本教授立志要用電子元件搭出洛倫茲方程?？上盍巳?，路子卻錯了。因為他是用電路模擬洛倫茲方程里的每一個(gè)參數，結果線(xiàn)路越來(lái)越大，幾千個(gè)元件鋪了一大桌子，卻只能形似，不能產(chǎn)生混沌。蔡先生本來(lái)是來(lái)松本實(shí)驗室學(xué)習的訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者，第一天來(lái)實(shí)驗室，看了一眼那一大桌子，差點(diǎn)受了刺激，心中琢磨這個(gè)大 boss 一定是內卷了。蔡先生想到洛倫茲公式只有兩個(gè)非穩定點(diǎn)，也許只要少數幾個(gè)非線(xiàn)性元件就能實(shí)現。他回到招待所后夜不能寐，到處找紙，最后在紙巾上畫(huà)了只有五個(gè)元件的簡(jiǎn)單線(xiàn)路。第二天他交給大 boss，一試果然能產(chǎn)生混沌。一天戰勝三年，五個(gè)元件戰勝一大桌子，這段溫酒斬華雄般的佳話(huà)我一直念念不忘，科學(xué)家的成功不過(guò)如此 [1]。蔡少棠就是“虎媽”他爸，虎媽式的訓練講究死板重復，疲勞轟炸。而蔡先生卻是心有靈犀的典范，反差大矣。

圖 2 基本的蔡氏電路。L，電感線(xiàn)圈；C1，C2，電容器；R，電阻；NR，蔡氏二極管。每個(gè)元件的作用和特征見(jiàn)正文。

看懂蔡氏電路

讓我帶您見(jiàn)識一下蔡氏電路吧，別怕，不懂電子工程沒(méi)關(guān)系，我也沒(méi)學(xué)過(guò)。電子工程不過(guò)是一門(mén)外語(yǔ)一樣的專(zhuān)門(mén)語(yǔ)言。語(yǔ)言雖不通，道理還是很容易懂的，只要把術(shù)語(yǔ)翻譯成日常語(yǔ)言，文科的你也能了解故事的奇妙。

蔡氏電路里只有五個(gè)元件，電感 L、電容 C1，C2、電阻 R，和一個(gè)怪東西 NR。所有元件的共性是都有上下兩條“腿”，供電流進(jìn)出。比如電流從上面進(jìn)，下面出，或者從下面進(jìn)上面出。圖 2 中水平的黑線(xiàn)是電線(xiàn)，黑點(diǎn)是電線(xiàn)和元件的接點(diǎn)。因此另一個(gè)共性是，所有元件的兩條腿都分別連在兩根電線(xiàn)上，這樣從一個(gè)元件流出的電流可以順著(zhù)電線(xiàn)走進(jìn)另一個(gè)元件。

要看懂一切電路的奧秘，就是要先從兩個(gè)連在一起的兩條腿元件開(kāi)始。為講清楚，我們先研究一個(gè)更著(zhù)名的電路（圖 3），就是照亮世界的手電筒電路。

圖 3 由電池和燈泡連接成的簡(jiǎn)單電路

在圖 3 的電路中，電池（左）和燈泡（右）都是兩條腿的電子元件，把它們用電線(xiàn)（圖中紅線(xiàn)）連在一起，一個(gè)奇妙的現象就出現了：小燈泡大放光芒！具體地說(shuō)，電池里的化學(xué)能量驅動(dòng)大量電子流過(guò)燈泡，電子在燈絲里與金屬晶格碰撞釋放能量，把燈絲燒熱發(fā)光。在這么個(gè)簡(jiǎn)單的電路里，每秒鐘大約有 300 億億個(gè)電子流過(guò)。電線(xiàn)一斷，電流就停止了，燈泡也不亮了。

電子學(xué)里的著(zhù)名原理

手電筒電路雖簡(jiǎn)單，但包含了電子學(xué)里最重要的一個(gè)原理，即電路都要有一來(lái)一回，來(lái)路和回路流過(guò)的電流完全相等。在圖 3 中，上下兩個(gè)綠箭頭標注的是電流的方向，上面流向燈泡，下面流出燈泡。一來(lái)一回必須完整，而且來(lái)回的電流值完全相等。你看，這么幾句白話(huà)就說(shuō)清了你在大學(xué)里花好多學(xué)費才能學(xué)到的基爾霍夫定律。教我電路的導師是路口修手機的李癩子，他有名言曰，“學(xué)會(huì )基爾霍夫定律，走遍天下都不怕?！蹦阍僖?jiàn)到任何電器，都要下意識地找它的兩條腿，電流從哪進(jìn)，從哪出。

有個(gè)喜歡抬杠的朋友說(shuō)，為啥我的 iPhone 耳機只有一根線(xiàn)??？這是為了方便，把兩個(gè)線(xiàn)做成一股。不信你把線(xiàn)剪斷了看看？還有個(gè)愛(ài)抬杠的朋友說(shuō)那計算機芯片有幾百條腿，這回路還怎么算？其實(shí)這芯片不過(guò)是由很多個(gè)兩條腿的元件組合罷了。比如電流回來(lái)的路可以共用一條，把它叫地線(xiàn)（圖 3，圖 3 里下面那條線(xiàn)都可以叫地線(xiàn)），其他幾百條線(xiàn)代表幾百個(gè)電池或燈泡那樣的兩條腿元件。

您如果能耐心讀到這里，已經(jīng)是一半出師了。下面分析蔡氏電路里的狐貍精，我們需要有一些狐貍精心態(tài)。當然方法還是一樣的，先考慮圖 4A 中兩個(gè)連在一起的元件。左邊個(gè)彎彎繞元件叫電感（L），右邊那個(gè)片片叫 電容（C）。

圖 4 LC 電路  A：一個(gè)線(xiàn)圈和一個(gè)電容組成的 LC 電路，中間是電路圖，左邊是線(xiàn)圈的實(shí)物，右邊是電容的實(shí)物；B：LC 電路的行為：電流來(lái)回流動(dòng)，或稱(chēng)為“振蕩”；C：由于電路中有能量損耗，振蕩的幅度會(huì )越來(lái)越低。

電感電容電器的半推半就

您不懂電感電容不要緊，戀愛(ài)一定談過(guò)吧？肯定懂得成功的戀愛(ài)一定要有半推半就。電感電容連在一起就像一對半推半就的戀愛(ài)伙伴。電容像主動(dòng)的一方，一股電流，熱辣辣地放過(guò)來(lái)，它一點(diǎn)也不躲閃，照單全收。而電感則像被動(dòng)的一方，對方放電的時(shí)候開(kāi)始完全抵制，然后慢慢接受。這兩位連在一起是絕配：開(kāi)始的時(shí)候電子被電容照單全收，因此電流流進(jìn)電容；然后電感逐漸放下架子，電流又從電容流向電感，這么來(lái)來(lái)回回。電流就像圖 4B 左面那樣，一會(huì )從電感流向電容，一會(huì )又從電容流向電感。這種來(lái)來(lái)回回，用電子工程的行話(huà)講就叫“振蕩”。當然，振蕩和談戀愛(ài)一樣，不可能永遠甜蜜。所以實(shí)際情況就像圖 4C 那樣，隨著(zhù)時(shí)間，激情會(huì )越來(lái)越少，振蕩幅度越來(lái)越低。

蔡氏二級管

凡是能拍四十集的戀愛(ài)劇，通常需要有個(gè)億萬(wàn)富翁的老丈人或者公公之類(lèi)不斷為男女主角提供財力支援，這才能讓?xiě)賽?ài)故事波動(dòng)不已。振蕩電路也是一樣，需要不斷供應能量，才能不像圖 4C 的曲線(xiàn)那樣逐漸死去。

蔡氏電路里的“蔡氏二級管”（圖 2 最右邊那個(gè) NR）就是這樣的“掏錢(qián)角色”。給振蕩電路提供能量的方法有很多種，而這蔡氏二級管就是個(gè)奇葩，有了它才能產(chǎn)生奇葩的混沌。為啥說(shuō)它是奇葩呢？因為它有個(gè)叫“負電阻”的反常特性。我們知道一個(gè)正常的兩條腿元件，兩端的電壓越高，則流過(guò)這個(gè)元件的電流越大。而蔡氏二級管正好相反，當兩端電壓降低時(shí)，流過(guò)它的電流會(huì )增加。這樣只要振蕩幅度（電壓）低了，蔡氏二級管就會(huì )提供額外的電流，讓振蕩持續下去。

蔡氏二級管是個(gè)本來(lái)不存在的元件，是蔡先生想象出來(lái)的。據蔡先生回憶，他的原始構想是用最少的元件來(lái)滿(mǎn)足洛倫茲方程組的條件。因此他先畫(huà)出多個(gè)草圖，再利用基爾霍夫定律把元件合并在一起（這過(guò)程有點(diǎn)像我們做數學(xué)題時(shí)候的整理公式）。做到最后，電路里只剩下 5 個(gè)元件，但其中一個(gè)是自然界里沒(méi)有的兩條腿元件“負電阻”。這負電阻雖然在自然界中是沒(méi)有的，但可以通過(guò)公式定義出來(lái)。所以第二天蔡先生交給松本教授的電路，是先在計算機上的電路模擬器上實(shí)驗成功的。而真正的電路，則是半年之后由蔡先生的學(xué)生做出來(lái)的。我們現在搭的電路是用兩個(gè)運算放大器來(lái)模擬出蔡氏二級管（圖 5）。然而，只有蔡氏二級管這個(gè)奇葩還不足以產(chǎn)生混沌現象。下面我再送您個(gè)驚奇大禮包。

什么情況？有小三

仔細看圖 2 的蔡氏電路，絕對會(huì )有個(gè)大發(fā)現，這里居然有兩個(gè)電容。除了左邊那個(gè)電感和電容組成的正常戀愛(ài)小兩口，中間那個(gè)電容（C1）分明是個(gè)扮演主動(dòng)角色的第三者嘛！說(shuō)它是第三者一點(diǎn)也不冤枉，因為它和左面的正常小兩口（電感電容）之間有個(gè)電阻作隔離。我不說(shuō)您也能理解，凡是插足戀愛(ài)的小三故事都要有各種各樣的隔離，而且隔離不能太小或太大。隔離太大了小三只能像空氣一樣被忽略，而隔離太小了就會(huì )產(chǎn)生大悲劇，導致電視劇一集就斷片。所以不大不小的隔離是產(chǎn)生狐貍精的關(guān)鍵。

說(shuō)實(shí)在的，這蔡氏電路比狗血電視劇高明得多，就是利用這個(gè)小三來(lái)提供洛倫茲公式里描述的兩個(gè)不穩定狀態(tài)。思路是這樣的：當用一個(gè) LC 電路和蔡氏二級管組成電路時(shí)，會(huì )產(chǎn)生振蕩，就是電子來(lái)回跑的非穩態(tài)現象；而如果再加一個(gè)小三，再引入一個(gè)新的不穩定因素，這樣就能產(chǎn)生混沌。根據這個(gè)套路，后來(lái)很多學(xué)者系統地研究了蔡氏電路，基本上認為能產(chǎn)生混沌的電路內一定要有個(gè)半推半就的振蕩器。有意思的是，這居然還是個(gè)沒(méi)有被證明的猜想，叫作 Elwakil and Kennedy conjecture[2]。

搭個(gè)蔡氏電路

這么簡(jiǎn)單的電路，又這么神奇，像我這樣的電路強迫癥患者如果不搭個(gè)玩玩，簡(jiǎn)直是虛度此生了。值得安慰的是美國像我這樣的怪人很多，網(wǎng)上一找，各種經(jīng)驗分享很多。于是我沒(méi)費什么功夫就搭了一個(gè)（圖 5）。前面講過(guò)，蔡氏二級管是個(gè)想象出來(lái)的元件，實(shí)際上不存在。但網(wǎng)上很多人根據蔡先生的設想，用兩個(gè)運算放大器和幾個(gè)電阻就能搭出來(lái)（圖 5B）。電路中的一個(gè)關(guān)鍵元件就是那個(gè)電阻，靠它調節兩個(gè)非線(xiàn)性元件之間的耦合程度。正如上面說(shuō)的，耦合程度小了線(xiàn)路就不會(huì )產(chǎn)生混沌吸引子（小三的影響被當成空氣），而耦合程度太高時(shí)則線(xiàn)路失去振蕩，被蔡氏二級管穩定在高或者低的電平上。

圖 5 我搭的蔡氏電路。A 為搭在線(xiàn)路板上的實(shí)際元件。圖中可見(jiàn)兩個(gè)運算放大器片（一個(gè)在鐵氧體磁芯上繞的漆包線(xiàn)圈），和幾個(gè)電阻電容元件。運算放大器用個(gè) 9v 電池供電，就實(shí)現蔡氏二級管的功能。B 為電路圖，里面標了實(shí)際的電阻電容值。有興趣的網(wǎng)友可以按此圖搭一下。運算放大器用什么型號都行，我用了手邊已有的 LF356。

混沌吸引子

在這兒我要教給您一個(gè)新詞，叫作“混沌吸引子”?；煦纾–haos）到底是咋回事，目前仍然是上帝的秘密，人類(lèi)還沒(méi)搞懂。但因為混沌現象普遍存在，所以也就被大家掛在嘴邊。在和別人談混沌的時(shí)候，您若是只知道蝴蝶效應，就會(huì )被別人看得很 low 很油膩，要是您說(shuō)出“混沌吸引子”來(lái)，B 格就高多了，不但普通人不懂，真的碰上行家也能唬一下子。

吸引子（attractor）這個(gè)概念很容易懂，就是一個(gè)運動(dòng)的物體被規范在一套軌道上這么個(gè)事。比如秋千，蕩來(lái)蕩去總在一個(gè)看不見(jiàn)的空間軌道上跑。如果秋千被推了一下，可能左右歪歪，但最后還是會(huì )回到那條軌道上來(lái)。這種即使被推開(kāi)還會(huì )自己回來(lái)的特性，有點(diǎn)像被吸引，所以這種狀態(tài)就叫作吸引子。注意吸引子是一種“狀態(tài)”而不是實(shí)物，比如運動(dòng)場(chǎng)上的人都愿意沿著(zhù)跑道跑，這個(gè)現象就可以稱(chēng)作“跑道吸引子”。注意跑道這個(gè)實(shí)物并不是吸引子，吸引子是沿著(zhù)跑道跑步這個(gè)現象。

回到混沌現象，那個(gè)蝴蝶狀的軌道（圖 1 右），肯定也是個(gè)吸引子，但是因為它有兩個(gè)翼，兩套吸引軌道，比較怪，所以也叫“奇異吸引子”（strange attractor）。當然奇異吸引子也有不混沌的，所以用洛倫茲公式畫(huà)出來(lái)的蝴蝶軌道也特別被稱(chēng)作“洛倫茲奇異吸引子”。

用自己搭的蔡氏電路調出各種吸引子，確實(shí)是件很酷的事。圖 6 就是當線(xiàn)路中的電阻值不同時(shí)形成的不同吸引子。前面講過(guò)，當這個(gè)電阻變化時(shí)，蔡氏二級管和電容對 LC 電路有不同程度的影響：當蔡氏二級管和電容對 LC 電路影響最小時(shí)，LC 電路出現規則振蕩，或尋常吸引子（圖 6 左）；當影響加大時(shí)，線(xiàn)路逐漸出現奇異吸引子（圖 6 中）；而當影響達到適中時(shí)出現混沌效應，即穩定的洛倫茲吸引子。

圖 6 蔡氏電路產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)特征

有學(xué)過(guò)物理的同學(xué)批評我，說(shuō)我講了半天混沌吸引子之類(lèi)居然一個(gè)公式都不列，客氣點(diǎn)說(shuō)是不嚴格，不客氣地說(shuō)就是民科。但是我相信我李師傅的一句話(huà)，說(shuō)“動(dòng)不動(dòng)就列公式的人實(shí)際上是不會(huì )用‘人話(huà)’講清道理”。雖然公式也是一種人話(huà)，但懂的人很少。所以如果能用家常話(huà)講清的科學(xué)道理就盡量不要用公式，還要避免雖然能列出公式，道理卻講不清的情況（比如量子力學(xué)）。

混沌電路的用途

說(shuō)了半天混沌吸引子，除了新鮮，又有什么用呢？用處多著(zhù)呢。比如說(shuō)最安全的通訊，需要一個(gè)字符一個(gè)密碼，永遠不重復使用。但密碼從哪來(lái)呢？這個(gè)需要隨機數產(chǎn)生器。在電腦里的隨機數產(chǎn)生器其實(shí)不是真隨機，用多了還是能被發(fā)現規律。而混沌電路則是真的隨機數產(chǎn)生器 [3]。與此類(lèi)似的用途是機器人尋找死胡同出口的算法，即先亂走，再仔細分析 [4]。還有一種比較神奇的用途叫‘混沌同步器’，就是兩個(gè)結構類(lèi)似的混沌線(xiàn)路可以耦合起來(lái)，這樣對使用耦合者的雙方，路徑精確一致，互相知道在哪里，而對其他觀(guān)察者，路徑則看起來(lái)像不可解釋的混沌狀態(tài) [5]。

迄今有很多科學(xué)家在研究怎樣將蔡氏電路簡(jiǎn)化，比如用個(gè)真的兩條腿元件（憶阻器，memristor）來(lái)代替多個(gè)元件搭出來(lái)的蔡氏二級管。簡(jiǎn)化蔡氏電路的目的是在一個(gè)小芯片上搭起上萬(wàn)個(gè)混沌電路，也許能模擬大腦神經(jīng)線(xiàn)路的某些特征。

讓我這個(gè)神經(jīng)科學(xué)家最感興趣的還是混沌與產(chǎn)生思維的關(guān)系。我們知道每個(gè)腦細胞都是一個(gè)振蕩器，每個(gè)腦細胞一般和幾千個(gè)其他腦細胞聯(lián)系，這么多耦合在一起的振蕩器是否有很多混沌行為呢？答案是肯定的。但是這些復雜的混沌行為和思維產(chǎn)生有關(guān)系嗎？進(jìn)一步說(shuō)，是否思維的產(chǎn)生需要依靠有混沌行為的線(xiàn)路？這些問(wèn)題激發(fā)出一代一代科學(xué)家的興趣，但至今還沒(méi)有解。腦細胞互相連成的網(wǎng)是迄今知道的宇宙中最復雜的網(wǎng)絡(luò )。這個(gè)網(wǎng)絡(luò )肯定有很多獨特的性質(zhì)。這方面留給各位去腦補吧，兄弟我再多說(shuō)半句就會(huì )暴露出自己的無(wú)知了。

結語(yǔ)

各位對混沌科學(xué)有興趣的朋友，你們要接受兄弟我的教訓，學(xué)科學(xué)要先學(xué)會(huì )不說(shuō)人話(huà)（就是會(huì )用數學(xué)工具）。好多概念需要有數學(xué)工具才能懂，比如豪斯佐夫維度（Hausdorff-Besicovitch dimension[6]），本來(lái)它是用來(lái)描述光滑度的，現在被用來(lái)描述混沌分型 [6]。利用豪斯佐夫維度，混沌分型多半是非整數維甚至是無(wú)理數維的，比如用 2.7 維可以畫(huà)出菜花的表面；2.97 維，就能畫(huà)出肺泡…… 我今天就先把您送到這兒吧。

彩蛋 —— 動(dòng)態(tài)系統的一些概念，您都搞明白了就是專(zhuān)家了

Anosov diffeomorphism

Arnold tong

Axiom A system

bifurcation diagram

box-counting dimension

correlation dimension

conservative system

ergodicity false nearest neighbors

Hausdorff-Besicovitch dimension

invariant measure

Lyapunov stability

measure-preserving dynamical systems

mixing Poincaré section

recurrence plot

SRB measure

stable manifold

topological conjugacy

參考文獻

• [1]《科普一下虎媽他爸》我 2012 年寫(xiě)的，發(fā)在紙媒《物理》雜志上，后來(lái)微信自媒體里也轉發(fā)過(guò)，傳抄者不少，用文章名搜索吧。

• [2] A. S. Elwakil and M. P. Kennedy. (2000) Chua's circuit decomposition: a systematic design approach for chaotic oscillators. Journal of the Franklin Institute 337 (2000) 251:265.

• [3] Bonilla, L.L., Alvaro, M. & Carretero, M. Chaos-based true random number generators. J.Math.Industry 7, 1 (2016). https://doi.org/10.1186/s13362-016-0026-4

• [4] Ch.K. Volos, I.M. Kyprianidis, I.N. Stouboulos. (2012) A chaotic path planning generator for autonomous mobile robots.  Robotics and Autonomous Systems Volume 60.  Issue 4 2012.

• [5] 5 Kinzel W., Englert A. and Kanter I. (2010)  On chaos synchronization and secure communication.  Phil. Trans. R. Soc. A.368379–389

• [6] https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension