周末燒腦：論頻譜中負頻率成分的物理意義

　　在對任何信號進(jìn)行傅立葉分析時(shí)，得出的頻譜為復數，且其頻率范圍將從-∞~∞。對于負頻率以及該范圍的頻譜，應當如何理解?它有沒(méi)有物理意義?是一個(gè)還缺乏討論，因而沒(méi)有統一看法的問(wèn)題，本文將對此進(jìn)行討論。

　　摘要：本文討論了信號經(jīng)過(guò)傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著(zhù)重于負頻率成分。許多信號與系統的教材中，都認為負頻率成分沒(méi)有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號，從中也可鮮明地看出負頻率成分的意義。

　　1.負頻率與復信號

　　頻率 f 的原始定義是每秒出現的次數，可用以衡量機械運動(dòng)、電信號、乃至任何事件重復出。

　　(a) 三維圖形

　　(b)x-y 平面的二維圖形現的頻度，這當然不存在

　　有“負”的概念。當用頻率描述圓周運動(dòng)時(shí)(即進(jìn)入了二維信號平面)，產(chǎn)生了角頻率 ω”的概念，從機械旋轉運動(dòng)出發(fā)，定義為角速度，對于周期運動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正，因此轉動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉角速度，負頻率就是順時(shí)針旋轉角速度。正、負號是非常自然形成的，沒(méi)有物理意義的有無(wú)問(wèn)題。電的單位向量(電壓或電流)圍繞原點(diǎn)的轉動(dòng)，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什么爭議，它的導數的物理意義不言自明，取正取負都不影響定義，為什么取負就會(huì )失去物理意義了呢?在信號與系統課程中，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，便于初學(xué)者掌握概念，開(kāi)宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號 f(t) ， 也就是 在 電 壓 旋 轉 向 量中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復信號的特性與只研究實(shí)信號 sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號在一個(gè)平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒(méi)有任何差別，這是人們對負頻率的意義產(chǎn)生疑問(wèn)的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉參數。

　　2.復信號與實(shí)信號的頻譜

　　同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來(lái)做傅立葉變換所得的結果也是前者全面，后者片面。對實(shí)信號做傅立葉變換時(shí)，如果用指數為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(cháng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號為零?？梢?jiàn)必須有負頻率的向量存在，才可能構成純 粹的實(shí)信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻[1]中給出了動(dòng)畫(huà)，并給出了正、負數字頻率的幾何解釋。