濾波器的截止頻率和品質(zhì)因數詳解

　　濾波器的截止頻率（F0 ）一般地是指幅度響應比通帶低3 dB時(shí)的頻率。對于切比雪夫濾波器， 有時(shí)可以定義為幅度響應降至通帶以外時(shí)的頻率。例如， 一個(gè)0.1 dB切比雪夫濾波器的F0 可以定義為響應下降》 0.1 dB 時(shí)的頻率。 如果考察的是實(shí)際頻率與截止頻率之比，而不是實(shí)際頻率 本身，則衰減曲線(xiàn)的形狀（以及相位和延遲曲線(xiàn)，它們定 義著(zhù)濾波器的時(shí)域響應）將是相同的。將濾波器歸一化至 1 rad/s，則可開(kāi)發(fā)出一種簡(jiǎn)單的濾波器設計和比較系統。 在此基礎上，用截止頻率對濾波器進(jìn)行縮放，以確定實(shí)際濾波器的元件值。

　　濾波器的品質(zhì)因數（Q）有時(shí)也表示為α，其中： 這通常稱(chēng)為阻尼比。請注意，有時(shí)使用ξ，其中：若Q 》 0.707，則濾波器響應中會(huì )有些峰值化現象。若Q 《 0.707，F0 處的滾降會(huì )稍大；斜率將更平坦些，滾降發(fā)生的 時(shí)間將提前。對于2極點(diǎn)低通濾波器的峰值化量與Q的關(guān)系如圖1所示。

　　用ωo 和Q改寫(xiě)傳遞函數H（s）：

　　其中，H0 為通帶增益且ωo = 2π F0 。 現在，我們將用該低通原型來(lái)設計濾波器。

　　高通濾波器

　　把低通原型的傳遞公式H（s）的分子改為H0 s2 ，結果將使低 通濾波器變成高通濾波器。該高通濾波器的響應在形狀上 與低通濾波器相似，只是頻率反相而已。 高通濾波器的傳遞函數為：

　　2極點(diǎn)高通濾波器的響應如圖2所示。

　　帶通濾波器

　　把低通原型的分子改為Ho ωo 2 ，結果將把濾波器變成一個(gè) 帶通函數。 帶通濾波器的傳遞函數為：

　　（5）

　　其中：ω為濾波器增益峰值化時(shí)的頻率（F0 = 2 π ω0 ）。 H0 為電路增益，定義為：

　　H0 = H/Q. （6）

　　對帶通響應來(lái)說(shuō)，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。 定義為：

　　（7）

　　其中，FL 和FH響應比最大值相差–3 dB時(shí)的頻率。 濾波器的帶寬（BW）定義為

　　（8）

　　請注意，可以證明，諧振頻率（F0 ）為FL和FH的幾何平均 值，這就意味著(zhù)，F0 在對數尺度上將出現在FL 和FH二者的中點(diǎn)。

　　另需注意的是，在對數尺度上，帶通響應的波裙在F0 左右 始終是對稱(chēng)的。

　　帶通濾波器對各種Q值的響應如圖3所示。

　　這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情 況為經(jīng)典定義，如圖3所示。

　　然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則 帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進(jìn)行構造。這里所 說(shuō)的相差很大是說(shuō)至少相差2個(gè)倍頻程（頻率&TImes;4）。這是使 用寬帶的情況。

　　帶阻（陷波）濾波器

　　把分子改為s2 + ωz 2 ，就可以將濾波器轉換成一種帶阻或陷 波濾波器。就如帶通濾波器一樣，如果帶阻濾波器的轉折 頻率之間間隔大于一個(gè)倍頻程（寬帶情況），則可用單獨的 低通和高通部分構造。因此，我們將采用以下規范：窄帶 帶阻濾波器將稱(chēng)為陷波濾波器，寬帶帶阻濾波器稱(chēng)為帶阻 濾波器。

　　陷波（或帶阻）傳遞函數為：

　　（9）

　　陷波濾波器的特性有三種情況，如圖4所示。極點(diǎn)頻率ω0 與零點(diǎn)頻率ωz 的關(guān)系決定著(zhù)濾波器是標準陷波、低通陷 波，還是高通陷波。

　　如果零點(diǎn)頻率等于極點(diǎn)頻率，則存在標準陷波。在此例 中，零位于jω平面，其中，定義極點(diǎn)頻率的曲線(xiàn)與軸相 交。

　　當零點(diǎn)頻率大于極點(diǎn)頻率時(shí)，會(huì )發(fā)生低通陷波。這種情況 下，ωz 位于極點(diǎn)頻率曲線(xiàn)之外。對實(shí)際應用來(lái)說(shuō)，這意味 著(zhù)，濾波器在ωz 以下的響應將大于ωz 以上的響應。結果形 成一種橢圓形的低通濾波器。

　　當零點(diǎn)頻率小于極點(diǎn)頻率時(shí)，會(huì )產(chǎn)生高通陷波濾波器。這 種情況下，ωz 位于極點(diǎn)頻率曲線(xiàn)之內。對實(shí)際應用來(lái)說(shuō)， 這意味著(zhù)，濾波器在ωz 以下的響應將小于ωz 以上的響應。 結果形成一種橢圓形的高通濾波器。

　　陷波寬度隨Q的變化情況如圖5所示。