精通信號處理設計小Tips（2）：數學(xué)的作用

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司 無(wú)線(xiàn)通信部門(mén)，擁有多年的工程項目研發(fā)經(jīng)驗，同時(shí)兼備算法理論研究，仿真驗證，以及對應的硬件設計實(shí)現能力；具備通信物理層開(kāi)發(fā)設計各個(gè)方面的實(shí)戰經(jīng) 驗...

　　精通信號處理設計小TIps（2）：數學(xué)的作用

　　對于工科專(zhuān)業(yè)的工程師來(lái)說(shuō)，數學(xué)到底是否有用？有多大用？都干什么用？相信是很多人曾經(jīng)考慮和關(guān)心的問(wèn)題。結合電子工程方向，對此稍作討論，跟大伙交流。

　　對于電子工程方向，一般在大學(xué)會(huì )先后學(xué)習這么幾門(mén)數學(xué)課程：微積分，線(xiàn)性代數，概率論，復變函數，隨機過(guò)程，矩陣論，數值分析等。但對于大多數人來(lái)說(shuō)，參加工作后，大家都會(huì )感慨，大部分內容基本都忘光了。為什么呢？原因很簡(jiǎn)單，因為再也沒(méi)有用到。對于很多具體的工程領(lǐng)域，這些課程的大部分的確不大用得著(zhù)。就我個(gè)人工作經(jīng)歷來(lái)說(shuō)，工作后，主要從事通信物理層的應用和實(shí)現。微積分很少直接應用，除了高等數學(xué)老師，還有誰(shuí)會(huì )去關(guān)注柯西中值定理呢？復變函數更是多年未曾打過(guò)一次交道。這么些課程中，相對來(lái)說(shuō)，用的較多的是兩樣，一個(gè)是傅里葉變換，一個(gè)是線(xiàn)性代數。最最頻繁使用的，是高中學(xué)到的一些知識，比如復數，三角函數，初等函數等等。

　　就像從初中一年級就開(kāi)始花費大量時(shí)間學(xué)習英語(yǔ)，至今仍是聾啞英語(yǔ)一樣，大學(xué)的那么多課程，費了好些時(shí)間和力氣學(xué)習，卻沒(méi)有怎么用得上，想想真是令人惋惜?，F在回想起來(lái)，如果上大學(xué)只為了最終的一張文憑的話(huà)，我寧可不上。在現實(shí)中，一個(gè)單片機實(shí)用電路的設計經(jīng)驗，或者熟練的編寫(xiě)一段軟件代碼，遠比泰勒定理的證明更來(lái)得實(shí)在。

　　照如此說(shuō)，似乎大學(xué)的數學(xué)也沒(méi)有啥用。這個(gè)結論先不必急于落下。先談?wù)勎以诠ぷ鲗?shí)踐中中碰到的具體數學(xué)應用吧。頻譜分析需要用到傅里葉變換，這算是大學(xué)數學(xué)諸多領(lǐng)域中應用最廣泛的一個(gè)。采樣定理的證明和更好的理解，也要用到傅里葉變換。數字上下變頻會(huì )涉及到三角函數中的積化和差。電路阻抗分析中會(huì )用到復數的運算。FPGA實(shí)現中會(huì )涉及到一些邏輯運算。FIR濾波處理從實(shí)現上看就是一個(gè)乘累加運算，背后是對各種頻譜分量的不同處理。應用廣泛的相關(guān)累計運算也是乘累加運算。符號同步、頻偏估計、信道補償等處理會(huì )涉及到復數形式的乘累加運算。

　　從以上的典型應用來(lái)看，相當多的數字信號處理應用都離不開(kāi)乘累加運算，比如相關(guān)、卷積、濾波等等，傅里葉變換的具體實(shí)現——離散傅里葉變換，其實(shí)現方式也是乘累加。這也是數字信號處理的魅力，一個(gè)簡(jiǎn)單的乘累加運算，解決了各種各樣，各種形式的問(wèn)題。一個(gè)成累加運算之所以能夠發(fā)揮如此巨大的威力，其原理和本質(zhì)都是基于線(xiàn)性時(shí)不變系統的前提。所以說(shuō)，線(xiàn)性運算和與之緊密相連的線(xiàn)性系統，是我們必須好好理解的一個(gè)內容。

　　不得不提的是傅里葉變換，對于電子工程和從事通信信號處理的工程師來(lái)說(shuō)，這算是大學(xué)數學(xué)在工程實(shí)踐中最重要的一個(gè)應用吧。比如信號的時(shí)移和頻移，信號的上下變頻處理，實(shí)信號的共軛對稱(chēng)特性，復信號和實(shí)信號頻譜的差異，模擬信號的數字采樣，信號的帶通采樣，頻譜的混疊和抗混疊，頻譜的鏡像，上采樣中的內插處理，下采樣中的抽取處理，等等等等，都可以從傅里葉變換的角度進(jìn)行解釋和分析。對連續和離散傅里葉變換的全方位理解，有助于我們更深刻的解釋和分析具體應用中的各種問(wèn)題。

　　當應用MATLAB來(lái)做一些信號處理算法的仿真時(shí)，我才真正體會(huì )到線(xiàn)性代數的應用價(jià)值和巨大威力。由于信號處理都是用離散的樣點(diǎn)來(lái)處理的，因此信號處理算法和實(shí)現都可以用矢量和矩陣的方式來(lái)表達和分析。比如最簡(jiǎn)單的乘累加運算，可以看做是兩個(gè)矢量的相乘。信號處理的最基本和最頻繁的運算，諸如相關(guān)，卷積，濾波，傅里葉變換，所有的這些都可以用簡(jiǎn)潔的矢量和矩陣形式表達出來(lái)。

　　線(xiàn)性代數大概研究幾個(gè)大方向：解方程，特征值分析，奇異值分析，穩定性分析。在具體工程應用最多的是基本的矢量運算和解方程。對矢量運算的理解非常有助于靈活運用MATLAB，因為MATLAB就是以矢量為處理對象的，矢量操作遠比f(wàn)or循環(huán)高效的多得多。

　　當初學(xué)習特征值的時(shí)候，始終不明白這個(gè)特征值到底有什么用，工作多年來(lái)也沒(méi)有看到它到底有什么用。但是，當我因工作需要去了解LMS自適應算法的原理時(shí)，我第一次強烈的感受到特征值的價(jià)值所在。稍微熟悉LMS算法的人都知道，LMS的每一步迭代，都涉及到一個(gè)步進(jìn)常數，而這個(gè)常數該取多大，跟信號相關(guān)矩陣的特征值有密切聯(lián)系。張賢達老師曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)一本專(zhuān)著(zhù)，專(zhuān)門(mén)討論線(xiàn)性代數在信號處理中的應用，從中可以看到非常多的特征值，范數，奇異值等概念在信號處理中的具體應用。

　　很多信號處理算法要解方程，解方程則涉及到形式多樣的矩陣分解方法，基于DSP數字信號處理器來(lái)搞這些矩陣分解算法是再合適不過(guò)了。但是對于實(shí)時(shí)性要求更高的應用場(chǎng)景，更多的基于FPGA硬件實(shí)現，矩陣分解則用的不多，更多的是使用一些替代方法，比如基于迭代的方法。就像上面提到的LMS算法，就是替代需要矩陣分解的LS算法。因為迭代的方法用FPGA實(shí)現更為方便。

　　我個(gè)人的經(jīng)歷非常有限，只涉及信號處理在通信中的應用的一小部分，以我的鼠光來(lái)看，對于通常的電路設計，軟件設計，邏輯設計等諸多領(lǐng)域，大學(xué)的數學(xué)實(shí)際應用的不是太多，關(guān)聯(lián)不是很大，更多的是起到理論支撐和理解作用。但對于算法領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，比如通信信號處理，雷達信號處理，模式識別，數據挖掘，信息檢索等等，大學(xué)的數學(xué)知識還是有相當多的用武之地的。

　　另外，也和我國當前的發(fā)展現狀有很大關(guān)系，真正涉及大量數學(xué)知識的工程應用團體和公司還比較少，大多處于比較初級和粗淺的應用。試舉兩個(gè)例子，第一個(gè)，國內做視頻監控方面的廠(chǎng)商可謂成百上千家，但大多處于圖像采集，圖像壓縮編碼，圖像的傳輸和多種格式的顯示等初級應用，涉及到圖像目標檢測，圖像分割，圖像目標識別等應用的產(chǎn)品還非常少。而這些才是真正涉及大量數學(xué)和信號處理算法的地方，體現算法魅力和價(jià)值的地方。第二例，當前市面上出現了家庭自動(dòng)掃地機，可以自動(dòng)充電，自動(dòng)打掃地面，但是對于房間地面的遍歷，大多數掃地機采用非常簡(jiǎn)單的隨機搜索方式，效率很低，以至于有些掃地機時(shí)不時(shí)的發(fā)出如下語(yǔ)音：“我很笨，可是我很勤奮！”?；蛘哒f(shuō)：“請不要一直盯著(zhù)我”。這也是無(wú)奈之舉。對于房間地面的高效遍歷，肯定是需要一套檢測和識別算法來(lái)有效支撐的，這些地方更能體現數學(xué)和算法的價(jià)值。

　　真正的工程實(shí)踐中，物理、化學(xué)的實(shí)際用途更大，更廣。對社會(huì )產(chǎn)生巨大影響，產(chǎn)生巨大推動(dòng)力量的更多的是物理學(xué)家，化學(xué)家，生物學(xué)家，醫學(xué)家等等，數學(xué)家相對要少些。有人說(shuō)數學(xué)很美，描述的非?？鋸?，也許當事人的確有這種感覺(jué)。我個(gè)人的感覺(jué)是物理定律比純粹的數學(xué)公式更美。對大多數工程實(shí)踐人員來(lái)說(shuō)，數學(xué)是有用，但也只是一種工具而已，遠不是首要的，放到首位的始終是用簡(jiǎn)單高效的方法解決實(shí)際的具體問(wèn)題。

　　時(shí)間有限，能力更是有限，粗略的聊了這些和電子發(fā)燒友網(wǎng)工程師們交流。希望大家多多指正，建議和批評更是多多益善。

下期開(kāi)講——精通信號處理設計小TIps（3）：信號處理應用所必須掌握的三大基石，敬請關(guān)注！

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