精通信號處理設計小Tips（5）：三個(gè)應用廣泛的數學(xué)概念

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技 術(shù)公司無(wú)線(xiàn)通信部門(mén)，擁有多年的工程項目研發(fā)經(jīng)驗，同時(shí)兼備算法理論研究，仿真驗證，以及對應的硬件設計實(shí)現能力；具備通信物理層開(kāi)發(fā)設計各個(gè)方面的實(shí)戰 經(jīng)驗...

　　從事信號處理相關(guān)工作，不可避免的用到一些數學(xué)知識。通常來(lái)說(shuō)，用到啥，就回頭去看啥，或者說(shuō)，缺啥補啥。有一些數學(xué)知識，是頻繁和反復用到的，因此有必要把它們匯總下。數學(xué)方面的東西，只看數學(xué)書(shū)籍的話(huà)，一般情況下，是相當乏味和枯燥的，但是和實(shí)際應用結合起來(lái)，就發(fā)現數學(xué)的魅力、力量和威力還是很強大的。和實(shí)際問(wèn)題結合起來(lái)，數學(xué)也就變得有趣起來(lái)。在這里，暫時(shí)舉出三例，后續繼續豐富和完善。

　　一 復數的概念

　　復數可以說(shuō)是我們從小到大一路走來(lái)，最后學(xué)到的一種數了。從歷史的角度看，它也是最后引入的幾個(gè)數之一，直到最近幾百年才開(kāi)始引入并推廣應用。它是為了解方程的方便而引入的，而且一開(kāi)始還一直不被人們接受，這些人中包括很多大數學(xué)家?？梢?jiàn)一個(gè)新的事物，一個(gè)新的概念，一種新的思想，要想被人接受是很困難的，很漫長(cháng)的一件事情。但是，隨著(zhù)時(shí)間的發(fā)展，由于它的獨特價(jià)值，最終被人接受并廣泛應用。復數除了解方程之外，在工程領(lǐng)域，最能體現復數應用價(jià)值的是兩個(gè)方向，一個(gè)是量子力學(xué)，一個(gè)就是電磁學(xué)。

　　復數的概念在電子工程，電磁場(chǎng)與電磁波等領(lǐng)域應用極為廣泛，在信號處理方向更是如此。不論是信號處理的基礎理論——傅里葉變換，還是信號的基帶表示和帶通表示，解析表示，不論是頻譜的分析，還是討論信號的時(shí)移和相位，都離不開(kāi)復數這個(gè)有力的工具的支撐。

　　相關(guān)概念：

　　應用舉例簡(jiǎn)述如下，在相關(guān)章節會(huì )分別進(jìn)行更詳細的介紹。

　　BPSK，QPSK，16QAM等調制方式，信號星座可看做信號正交分量和同相分量的復數域的表示。

　　發(fā)射機的EVM測試，即根據星座點(diǎn)在復平面上的位置進(jìn)行計算，計算的目標就是實(shí)際測得的星座點(diǎn)和參考星座點(diǎn)之間的距離，或者說(shuō)就是復平面上兩個(gè)點(diǎn)的距離。

　　接收機存在某個(gè)頻率偏移時(shí)，星座圖上的星座點(diǎn)會(huì )以恒定速率旋轉，圍繞原點(diǎn)做勻速圓周運動(dòng)，運動(dòng)角速度和頻率偏移大小成正比。

　　電路的阻抗分析、諧振分析均以復數運算為基礎。

　　實(shí)信號的頻譜是共軛對稱(chēng)的。頻譜的鏡像可用共軛成分來(lái)表示。

　　安捷倫和羅德施瓦茨都有矢量信號發(fā)生器，矢量信號分析儀，這些信號都是復數形式的信號。

　　信道估計算法，本質(zhì)上可以看做是復數的除法運算。

　　發(fā)射機的正交上變頻，接收機的正交下變頻，本質(zhì)上可以看做復數的乘法運算。

　　接收機頻偏的補償，本質(zhì)上可以看做復數的乘法運算。

　　發(fā)射機鏈路和接收機鏈路上各個(gè)節點(diǎn)的功率的計算，為復數的模平方的計算，在信號功率監測，模擬自動(dòng)增益控制（AAGC），數字自動(dòng)增益控制（DAGC）等領(lǐng)域中有廣泛應用。

　　二 信號的伸縮和平移

　　信號的伸縮和平移，尤其是平移，在信號處理的理論和實(shí)踐中有著(zhù)廣泛的應用。信號時(shí)域的平移和頻域的相移之間的關(guān)系，是非常奇妙而又應用廣泛的一對關(guān)系。信號的伸縮和平移，從數學(xué)上來(lái)說(shuō)，就是函數的伸縮和平移的應用，這是高中初等數學(xué)的范疇，應該是非常一般的，即使很久不用數學(xué)也不會(huì )忘記的一個(gè)概念和方法。但是因為它如此的重要，因此有必要單獨拿出來(lái)進(jìn)行一個(gè)小小的總結，從而更好的利用這一有效工具去解決各種信號處理相關(guān)的問(wèn)題。這一章節專(zhuān)門(mén)討論和總結平移。伸縮的討論等到真正用到它時(shí)（比如信號的插值和抽?。┰龠M(jìn)行相應描述。

　　信號的平移，最簡(jiǎn)單的是記住四個(gè)字——“加左減右”。即移動(dòng)量是正值，則整個(gè)信號波形向左移動(dòng)，即向x坐標軸的負軸方向移動(dòng)。移動(dòng)量是負值，則整個(gè)信號波形向右移動(dòng)，即向x坐標軸的正軸方向移動(dòng)。雖然想象左右比想象上下的心理反應時(shí)間要慢些，但多多體會(huì )就會(huì )熟記于心的。

　　舉個(gè)例子，比如單位采樣信號為不妨想一下，和單位沖擊信號有何區別呢？），如下圖所示：

　　若是信號形式為則整個(gè)波形向左移動(dòng)5個(gè)采樣點(diǎn)，如下圖所示：

　　對于一般的一個(gè)信號可以根據單位采樣信號的平移性質(zhì)，表示成如下形式：

　　也就是說(shuō)，任何一個(gè)離散信號，都可以表示成單位采樣信號的線(xiàn)性疊加形式。從信號與系統的角度來(lái)說(shuō)，這是系統線(xiàn)性疊加的體現。這里的系統，當然是線(xiàn)性時(shí)不變系統，滿(mǎn)足齊次性，疊加性和時(shí)不變性，這是我們所有關(guān)于信號與系統的分析的前提。

　　三 和差化積公式

　　積化和差公式最普遍、最頻繁的應用就是信號的上下變頻處理。后續我們結合信號的基帶表示和帶通表示的時(shí)候會(huì )進(jìn)行更細致的描述。

　　若是一下子記不住這四個(gè)公式，可以先理解第三個(gè)，然后依次類(lèi)推。雖然說(shuō)數學(xué)需要理解，但是實(shí)踐證明，為了更好和更高效的應用，一些極其常用的概念和公式還是記牢的好。

　　比如諸如積化和差之類(lèi)的三角公式，比如香農公式，比如2的N次方（2N16）。

下期開(kāi)講——精通信號處理設計小TIps（6）：卷積是怎么得到的？敬請關(guān)注！

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