電阻組合：用1kΩ電阻可以組合出多少值來(lái)？

凡是模擬設計師恐怕都有通過(guò)標準阻值電阻的串聯(lián)/并聯(lián)得到非標準阻值的經(jīng)驗吧？為了盡量避免生產(chǎn)中的調試工作，我們可以使用0.1%精度的電阻得到精密分壓器。為了獲得非標準阻值，將兩個(gè)或更多個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)是很好的一個(gè)方法——總的電阻值就是它們的和，因此計算非常容易。有效值是較大的電阻，串聯(lián)中的小值電阻用于精細調整。

即使是日常生活瑣事，比如修理繞線(xiàn)散熱電阻出現開(kāi)路的老式真空管電子琴，從廢料箱中找出一串5W電阻然后將它們焊接在一起也能挽救大局。當然，隨著(zhù)熱量的散發(fā)，這些電阻還能比原始器件冷卻得更快。

并聯(lián)電阻的計算稍微難一點(diǎn)，計算公式是RTOTAL = （R1×R2） / （R1 + R2）。并聯(lián)非常適合像穩壓器等需要人工微調的電路，這時(shí)經(jīng)常需要拿一個(gè)大值電阻與小值電阻并聯(lián)焊接在一起。這對于大規模生產(chǎn)來(lái)說(shuō)并不是一個(gè)好方法，但對于一種一個(gè)的裝置來(lái)說(shuō)是極好的，而可調電位器的取消意味著(zhù)今后的校準工作會(huì )更加方便。

Martin Rowe給我出了一個(gè)不大不小的問(wèn)題：“只用1kΩ電阻可以組合得到多少值？”

好吧，這聽(tīng)起來(lái)很有趣，也是我以前從未認真考慮過(guò)的事。我立馬來(lái)勁了，想要知道多達10個(gè)1kΩ電阻在各種串聯(lián)/并聯(lián)組合下的值。但做到5個(gè)電阻時(shí)，可能的排列組合就變得讓人難以應付了。

那么n個(gè)1kΩ電阻究竟能得出多少個(gè)排列組合呢？

首先最明顯的排列是全部串聯(lián)和全部并聯(lián)。當n=2時(shí)，可能的排列是兩個(gè)值（圖1）。

兩個(gè)電阻，兩種組合。這個(gè)很簡(jiǎn)單。

當n=3時(shí)，有4種可能的排列?？焖儆嬎慵记?mdash;—當所有電阻都是相同值時(shí)，它們的等效電阻是它們的值除以并聯(lián)電阻的數量。將電路分解為小的串聯(lián)/并聯(lián)電阻對，然后一步步算出最終的等效電阻值。成對的使用能使并聯(lián)計算容易得多（圖2）。

3個(gè)電阻，4種組合。

當n=4時(shí)，排列數字很快增加到9種（圖3）。我想我已經(jīng)覆蓋了所有變化，但如果有人發(fā)現還有遺漏的，請通過(guò)評論讓我知道。

4個(gè)電阻產(chǎn)生9種組合。

最右邊的組合結果是1000Ω，與單個(gè)電阻相同。這種組合的優(yōu)勢是通過(guò)使用4個(gè)電阻，散熱能力增加了4倍，耐壓能力則翻倍。當你想要全部使用貼片電阻時(shí)，這是一個(gè)很有用的技巧。

當電阻數量增加到n=5時(shí)，排列數量增加到23，假設我沒(méi)有忽略任何可能性的話(huà)。同樣，如果你發(fā)現還有新的排列，請在評論中告訴我。

5個(gè)電阻我想出了23種組合。還有其它組合嗎？

這時(shí)我認識到，我是沒(méi)有希望達到我設定的10個(gè)電阻這個(gè)目標了，即使達到也沒(méi)有足夠的紙讓我把各種組合全部畫(huà)出來(lái)。也許一些數學(xué)奇才有辦法計算出n個(gè)電阻時(shí)可能的排列組合數量，那就請他不吝賜教了。

你能給出任意數量的串聯(lián)/并聯(lián)電阻時(shí)的排列數量公式嗎？