圖像處理中的數學(xué)原理詳解10——理解泛函的概念

　　2.4 從泛函到變分法

　　作為數學(xué)分析的一個(gè)分支，變分法(Calculus of Variations)在物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及信息技術(shù)等諸多領(lǐng)域都有著(zhù)廣泛而重要的應用。變分法是研究依賴(lài)于某些未知函數的積分型泛函極值的普遍方法。換句話(huà)說(shuō)，求泛函極值的方法就稱(chēng)為是變分法。

　　2.4.1 理解泛函的概念

　　變分法是現代泛函分析理論的重要組成部分，但變分法卻是先于泛函理論建立的。因此，即使我們不過(guò)深地涉及泛函分析之相關(guān)內容，亦可展開(kāi)對于變分法的學(xué)習。而在前面介紹的有關(guān)抽象空間的內容基礎之上來(lái)討論泛函的概念將是非常方便的。

　　需要說(shuō)明的是，此處我們所討論的僅限于實(shí)數范圍內的泛函。

　　如果把上述泛函定義中的線(xiàn)性賦范空間局限于函數空間的話(huà)，那么也可以從另外一個(gè)角度來(lái)理解此處我們所要討論的泛函。

　　此處所討論的部分主要是古典變分法的內容。它所研究的主要問(wèn)題可以歸結為：在適當的函數類(lèi)中選擇一個(gè)函數使得類(lèi)似于上述形式的積分取得最值。而解決這一問(wèn)題又歸結為求解歐拉-拉格朗日方程。這看起來(lái)并非一個(gè)多么復雜的問(wèn)題，而且方法也似乎也平常無(wú)奇。但依靠這種方法，我們驚異地發(fā)現原來(lái)自然世界中許多千差萬(wàn)別的問(wèn)題居然能夠使用統一的數學(xué)程序來(lái)求解，而且奇妙的變分原理還可以用來(lái)解釋無(wú)數的自然規律。在下一小節中，我們就將從最簡(jiǎn)泛函開(kāi)始導出歐拉-拉格朗日方程。