巧找線(xiàn)性系統穩定性的“七寸”

　　在電子電路設計過(guò)程中，負反饋的引入讓系統變的更加“聽(tīng)話(huà)”，然而，在使用負反饋的過(guò)程中，也有潛在的不穩定性：當設計的系統滿(mǎn)足一定條件時(shí)，設計的系統就會(huì )變得不那么“聽(tīng)話(huà)”，甚至變得振蕩起來(lái)。為了找到負反饋線(xiàn)性系統的穩定性，本文對關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行剖析。

　　為分析系統的穩定性，首先需要知道兩個(gè)概念：增益交點(diǎn)和相位交點(diǎn)。所謂增益交點(diǎn)，顧名思義，就是使環(huán)路增益為1的頻率點(diǎn);相位交點(diǎn)是使環(huán)路增益的相位為-180°的頻率點(diǎn)。這兩個(gè)頻率點(diǎn)在保持系統的穩定性中，起到重要的作用。在穩定的系統中，增益交點(diǎn)通要比相位交點(diǎn)靠前：

　　在圖1中，增益交點(diǎn)在相位交點(diǎn)之前，滿(mǎn)足系統穩定的條件，這樣的系統變得穩定，而圖2中增益交點(diǎn)在相位交點(diǎn)之后，則系統就變得不穩定。

　　為什么這么說(shuō)呢?因為這就是非常著(zhù)名的“巴克豪森判據”(Barkhausen’s Criteria)。因此，負反饋的引入就是為了克服這樣兩個(gè)因素。

　　由此可以看出，一個(gè)系統的波特圖對判斷一個(gè)系統的穩定與否有著(zhù)重要的作用。如果設計出了如圖2的系統，顯然不穩定，但是可以通過(guò)對系統的反饋回路調整和補償，將系統的增益交點(diǎn)出現在相位交點(diǎn)之前，那么，系統就會(huì )變得穩定了。

　　寫(xiě)到這里，相信不少電子工程師對波特圖的使用有了更深刻的認識，有興趣的朋友參考下我之前寫(xiě)的文章欣賞波特圖的魅力，在這里我要強調一點(diǎn)，在畫(huà)波特圖的相位圖時(shí)，需要找好三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

　?、賹τ诹泓c(diǎn)頻率ω，在0.1ω處，相位圖開(kāi)始下降;
　?、谠?omega;處，相位圖的經(jīng)過(guò)了大約+45°的相移;
　?、墼?0ω處，相位圖經(jīng)過(guò)了大約90°的相移;

　　為說(shuō)明這點(diǎn)，現以一RC低通濾波器為例說(shuō)明：

　　其傳遞函數為

　　其相位圖如圖4 所示。

　　波特圖能夠大概分析系統穩定性，在設計過(guò)程中，如果系統不復雜，能夠以表達式的形式表達出極點(diǎn)，那么，也可以在復平面中查看系統的穩定性。(由于傳遞函數長(cháng)用拉普拉斯變換，引入拉普拉斯算子s，這讓我深深明白大學(xué)學(xué)習復變函數的重要性)。

　　對于復平面，圖5，

　　若極點(diǎn)落在右半平面，則系統是不穩定的，若在原點(diǎn)處，系統也有可能出在振蕩狀態(tài)。也就是說(shuō)，只有所有的極點(diǎn)都落在左平面內，系統才能變得穩定。(這時(shí)，你能想起來(lái)大學(xué)老師教你的復變函數的一個(gè)應用了吧)。

　　例如若一極點(diǎn)的位置為1+J3，則系統不穩定，若極點(diǎn)位置在-1+j3，那么就是穩定的。所以，在設計系統時(shí)，要將所有的極點(diǎn)都落在復平面的右半平面。