一種分數階微分IIR濾波器的設計方法和改進(jìn)

摘 要：提出一種在不增加分數階微分濾波器復雜度的前提下，能有效提高分數階微分濾波器性能的方法。該方法利用幾種基于典型微分算子的分數階微分濾波器之間的互補性，通過(guò)相互內插結合的方式，用于提高IIR分數階數字濾波器的性能。改進(jìn)后的分數階微分濾波器頻率響應更接近理想分數階微分濾波器，表明所提方法的有效性。
關(guān)鍵詞：分數階微積分；數字微分器；IIR濾波器；微分算子；連續分數擴充

0 引 言
分數階微積分是一個(gè)既古老又現代的話(huà)題。早在整數階微積分產(chǎn)生的時(shí)候分數階微積分就產(chǎn)生了，該問(wèn)題曾被許多數學(xué)家，如Leibniz(1695)，Euler(1738)，Liouville(1850)，Hardy和Littlewood(1925)等涉及和探究過(guò)。雖然分數階微積分的研究難度很大，但近三百年在眾多科學(xué)家的不懈努力下，分數階微積分作為純數學(xué)分支已經(jīng)發(fā)展漸成體系，但其物理意義不明確，阻礙了分數維微積分的應用，目前在工程技術(shù)界中沒(méi)有得到廣泛應用。從Mandelbrot提出分形學(xué)說(shuō)，將Rie―mann―Liouville分數階微積分用以分析和研究分形媒介中的布朗運動(dòng)以來(lái)，分數階微積分才在許多學(xué)科，特別是在化學(xué)、電磁學(xué)、控制學(xué)、材料科學(xué)和力學(xué)中引起廣泛關(guān)注并嘗試著(zhù)應用。隨信息科學(xué)的變革和迅猛發(fā)展，分數階運算在很多問(wèn)題的處理過(guò)程中所擁有整數階運算無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)正逐漸顯露出來(lái)。
目前分數階濾波器已經(jīng)在分數階控制器、信號處理、圖像壓縮和處理等領(lǐng)域得到成功應用。分數階數字分數階微分濾波器的設計和改進(jìn)，正成為分數階微積分研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。數字微分濾波器的設計方法通?？梢詺w為2類(lèi)：第一種是線(xiàn)性相位F1R濾波器方法；另一種是IIR濾波器法?？紤]到濾波器設計復雜度因素，FIR微分濾波器階數會(huì )受到限制，影響了其頻率響應對理想頻率響應的逼近效果，因此這里考慮使用IIR分數階微分濾波器來(lái)實(shí)現分數階運算。
IIR分數階數字微分濾波器設計的重點(diǎn)是實(shí)現分數階算子的離散化，即是找到一個(gè)函數Gv(z)，使其頻率響應無(wú)限逼近理想分數階數字微分器的頻率響應Hv(ω)=(jω)v?；静襟E可以歸納為：首先，找到頻率響應接近理想一階微分的算子；然后基于所選用的微分算子，推導出分數階微分濾波器傳輸函數；最后通過(guò)各種展開(kāi)方法把傳輸函數的分數階形式轉化為整數階濾波器形式。完成分數階展開(kāi)的常用方法有冪級數展開(kāi)(PSE)和連續分數擴充(CFE)，其中連續分數擴充方法對函數的逼近更好，收斂更快。
首先對Rectangular算子、Tustin算子、Simpson算子這幾種典型微分算子通過(guò)連續分數擴充，得到相應的0．5階微分濾波器頻率響應。通過(guò)分析這幾種算子的頻率響應表明，基于這幾種典型算子的分數階微分濾波器各有優(yōu)缺點(diǎn)和具有互補性，將這幾種典型算子進(jìn)行結合可得到更接近理想分數階微分算子頻率響應的算子。

1 典型IIR分數階微分濾波器
1．1 基于Simpson算子的IIR分數階數字微分濾波器
Simpson微分算子表示為：

GvSn(z)中v表示微分階數；n表示濾波器階數。圖1是基于Simpson算子的O．5階微分濾波器的頻率響應曲線(xiàn)圖。

在此使用連續分數擴充(CFE)方法完成對上式的展開(kāi)，這里簡(jiǎn)要介紹分數階算子實(shí)現過(guò)程中使用到的CFE方法。對于任何一個(gè)函數D(z)，可以用下面連續分數的形式來(lái)表示：

式中，系數ai，bi是關(guān)于變量z的有理函數或常數。只需要通過(guò)截斷操作，就能得到有限階逼近函數。下面列出T=0．001 s時(shí)，使用連續分數擴展(CFE)完成上式的展開(kāi)，得到0．5階微分的Simpson分數階微分濾波器傳遞函數GvSn(z)：

通過(guò)對比和分析，從誤差和計算復雜度兩個(gè)方面均衡考慮分數階微分濾波器階數的選為5階比較合適。因此這里濾波器的階數都選為5階。
1．2 基于Rectangular算子的IIR分數階數字微分濾波器
．Rectangular算子表示為：