基于代數方法分析FIR濾波器

為什么要使用 FIR 濾波器呢？我們已經(jīng)在 PSoC Creator 的濾波器工具中引入了優(yōu)秀的無(wú)限脈沖響應（IIR）濾波器，而且花了很長(cháng)時(shí)間向人們解釋為什么IIR 濾波器是一個(gè)很好的選擇。這種濾波器完成同等濾波工作所需的處理循環(huán)次數明顯更少。其實(shí)，FIR 和 IIR 各有優(yōu)缺點(diǎn)，FIR 濾波器的脈沖響應有限，這正是我們在最近的項目中選擇FIR的原因所在。

　　現在重申濾波器類(lèi)型縮寫(xiě)可能有點(diǎn)老套，FIR 就是Finite Impulse Response （有限脈沖響應）的縮寫(xiě)。不過(guò)，有些情況下我們確實(shí)需要脈沖響應的這種“有限”性。

　　如果濾波器的脈沖響應時(shí)長(cháng)受到嚴格限制，那么其“存儲器”容量就有限。輸入信號發(fā)生變化的時(shí)間比“現在”要早，即“現在”減去脈沖響應持續時(shí)間，因此不會(huì )對最近的輸出采樣產(chǎn)生影響。如果輸入穩定為一個(gè)常量，那么輸出經(jīng)過(guò)脈沖響應同等的持續時(shí)間后也會(huì )變成常量。換句話(huà)說(shuō)，穩定時(shí)間是有限的，而且是確切已知的。

　　與此形成對比的是，IIR 濾波器的輸出至少在理論上受到過(guò)去很早階段輸入信號的影響。而且輸出會(huì )在輸入穩定后無(wú)限長(cháng)的時(shí)間內持續變化。對于標準的量化數字信號來(lái)說(shuō)，很難確切說(shuō)明輸出到底什么時(shí)候才會(huì )停止變化。事實(shí)上，有時(shí)輸出永遠不會(huì )完全穩定下來(lái)，而是在所謂的“極限環(huán)”（limit cycle）模式中變動(dòng)。這是我們今后要探討的優(yōu)缺點(diǎn)權衡問(wèn)題，現在繼續討論本文的主題。

　　近期，有同事希望利用濾波器有效抑制 50Hz 和 60Hz AC 線(xiàn)（加上二次諧波）對微小感應器信號的影響。此外，我們還需要嚴格限制濾波器的穩定時(shí)間。顯然，這一要求使得 IIR/FIR 之間的選擇結果必然落在 FIR 陣營(yíng)。就我目前使用的 PSoC3 和 PSoC5 器件的數字濾波器模塊硬件而言，這兩種濾波器都適用。

　　為了充分滿(mǎn)足同時(shí)進(jìn)入硬件的濾波器通道數量要求，濾波器必須非常“小”,而且不能采用會(huì )造成資源浪費的低效設計方法。我需要根據響應時(shí)間要求來(lái)設定每個(gè)濾波器的系數數量！我將在第二部分介紹具體的實(shí)施方法，不過(guò)為了便于理解，我們首先要考慮一下 FIR 濾波器的含義及其表示方法。

　　FIR 濾波器如何定義？

　　FIR 濾波器完全由一組有序的值來(lái)定義，這些值按時(shí)間順序與輸入信號相乘（或加權）。當然，信號的延遲采樣很簡(jiǎn)單，只需將值儲存在存儲器的某個(gè)位置然后再讀取即可。它不必是數字存儲器。FIR 濾波器的一種早期形式被稱(chēng)為橫向濾波器，根本不會(huì )對信號進(jìn)行數字化，而是直接將電壓存儲在小的電容器上，然后再進(jìn)行讀取。今天大量用于圖像感應器的電荷耦合器件（此前一度用來(lái)創(chuàng )建采樣模擬電壓存儲器）串聯(lián)起來(lái)形成延遲線(xiàn)--就此而言，早期的 FIR 濾波器其實(shí)就是模擬器件。不過(guò)這里有些跑題了，我們要回到主題上來(lái)。

　　將這些加權延遲輸入信號加在一起，就能得到所需的輸出信號。如果此過(guò)程中的輸入信號是一個(gè)脈沖信號，僅在一個(gè)采樣時(shí)間內是非零值，那么濾波器輸出（即脈沖響應）的形式與系數序列相同。圖 1 給出了濾波器系數的一組實(shí)例（用 PSoC Creator 工具設計的 15-tap FIR）以及增益和脈沖響應情況。

　　圖1:15-tap FIR 濾波器實(shí)例--系數、頻率和脈沖響應。

　　當然，許多方法都可以用來(lái)計算系數，得到所需的濾波特性?，F在，濾波器設計工作跟烹飪差不多。其他人已經(jīng)把原料備好，您只需將飯菜放進(jìn)微波爐里就算完成任務(wù)了。此外，您也可自己做一些努力，用基本的原料和工具做成一些新花樣。如果您對美食的加工流程有更多認識，那么就會(huì )對美食產(chǎn)生更深刻的理解。對于電子設計，特別是濾波器設計來(lái)說(shuō)道理也是如此。

　　讀者會(huì )意識到我其實(shí)在反復重復一個(gè)命題，即有時(shí)候需要卷起袖子來(lái)自己動(dòng)手。這樣您就能創(chuàng )造出一些市場(chǎng)上沒(méi)有的獨特產(chǎn)品，或者及時(shí)發(fā)現信號問(wèn)題所在。

　　好消息是，即使您不是濾波器專(zhuān)家或數學(xué)達人也能做得很好。我們繼續用烹飪來(lái)打比方，作為一個(gè)大廚，您可以用美拉德反應（Maillard reaction）來(lái)烹制可口佳肴，但不必了解它的化學(xué)原理。同樣，您也能運用一些代數知識設計出色的濾波器，盡管您可能并不完全了解其真正的含義。這就是我們下面要做的！

　　將 FIR 濾波器想象成多項式

　　設想一下，將代表 FIR 濾波器系數的值序列看成變量 z 的多項式。多項式是變量乘方的總和，每個(gè)變量乘方項都乘以某個(gè)系數。這就是之前的 FIR 濾波器定義。

　　在研究采樣信號和信號處理系統的過(guò)程中，我們大量使用變量 z 和它的倒數 z^-1.該變量沒(méi)有明確的物理含義，但與時(shí)間密切相關(guān)。z^-1 則與將信號延遲單次采樣周期的這種行為有關(guān)（數學(xué)上稱(chēng)作運算符）。

　　在因果系統中，輸出只能被已經(jīng)發(fā)生的事件影響，也就是延遲的輸入信號。結果就是在濾波器方程式中經(jīng)常出現 z 的負次冪。我們通過(guò)與 z 的高次冪相乘可以使多項式看起來(lái)更加熟悉。您不必了解 z 變換的原理和方法，只需利用 z 和 z^-1 多項式完成實(shí)際工作即可。

　　圖 1 所示濾波器的多項式表現形式如下。為了簡(jiǎn)化方程式，我降低了系數有效數字的位數。以下包括負次冪[1]和正次冪[2]兩種形式。

　　公式1

　　公式2

這看起來(lái)并不復雜，只是用另一種方式來(lái)表達已知的濾波器而已。這種表示方法使我們能夠用一些強大的基礎代數工具進(jìn)行分析，最終通過(guò)有用的屬性對多項式進(jìn)行綜合。關(guān)鍵在于我們能夠對此類(lèi)多項式進(jìn)行因式分解，使其包含多個(gè)線(xiàn)性或二次方程獨立子項，并求得最終結果。這會(huì )不會(huì )喚起您當年代數課上的回憶呢？

　　為了將多項式進(jìn)行因式分解，我們需要找到它的根。有一些變量的值可以使多項式的值為零。大多數數學(xué)工具都提供用于計算多項式根的函數。根可以是實(shí)數（線(xiàn)性項）也可以是一對復數，相乘后成為二次項。整體多項式等于所有二次項和線(xiàn)性項的積。

　　下面我們來(lái)找出示例濾波器的根和因數。我使用 Excel 根取得器（Excel root finder） 完成這項工作。