Hopfield網(wǎng)絡(luò )求解TSP兩種改進(jìn)算法的仿真研究
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用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )求解旅行商問(wèn)題(TSP)，給組合優(yōu)化完備性問(wèn)題的求解提供新的方法。但該算法會(huì )經(jīng)常生成無(wú)效解，因此需進(jìn)一步改進(jìn)。有學(xué)者通過(guò)TSP網(wǎng)絡(luò )的動(dòng)態(tài)分析修正TSP的能量函數，從而獲得有效解，但其能量函數的表達式過(guò)于復雜。有人簡(jiǎn)化該能量函數，進(jìn)一步提出改進(jìn)算法。這里擬對典型的兩種改進(jìn)算法進(jìn)行仿真分析。
2 HopfieId網(wǎng)絡(luò )的能量函數
為將TSP問(wèn)題映射成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )的動(dòng)態(tài)過(guò)程，Hopfield采取置換矩陣的表示方法，用N×N個(gè)神經(jīng)元組成Hopfield人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )表示商人訪(fǎng)問(wèn)N個(gè)城市。
網(wǎng)絡(luò )達到穩定狀態(tài)時(shí)各神經(jīng)元的狀態(tài)對應置換矩陣各元素的值(“1”或“0”)。用uxi表示神經(jīng)元(x，i)的輸出，相應的輸入用Vxi表示。
若城市x在i位置上被訪(fǎng)問(wèn)，則Vxi=1，否則Vxi=0。Hop-field定義如下形式的能量函數：
式中，A、B、C、D是實(shí)系數。dxy為城市x與y之間的距離。
式中前3項是問(wèn)題的約束項。最后1項是優(yōu)化目標項。利用動(dòng)態(tài)方程：
式中，VT表示V的轉置。
求得A、B、C、D和d描述的連接矩陣和及偏置，的表達式：
Hopfield把能量函數的概念引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )，從而開(kāi)創(chuàng )求解優(yōu)化問(wèn)題的新方法。但該算法會(huì )以大百分比生成無(wú)效解，因此需進(jìn)一步改進(jìn)。
3 改進(jìn)算法與仿真
3．1 改進(jìn)算法1
Aiyer等人從理論上證明Hopfield網(wǎng)絡(luò )不能生成有效解的原因，并提出一個(gè)新的連接矩陣：
外部輸入
可從理論上證明該算法的有效性，試驗也驗證它幾乎100％可獲得有效解。利用上述改進(jìn)算法對Hopfield的10城市問(wèn)題進(jìn)行模擬試驗，已知其最短路徑為2．690 6。模擬試驗采用兩種神經(jīng)元狀態(tài)更新函數，一種采用S型函數，即
另一種采用如下定義的軟限幅函數：
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