三維矢量散射積分方程中奇異性的分析
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上式就是電場(chǎng)積分方程的主值積分.不難看出式(1)和(11)的區別僅為：主值積分的積分域不含有奇點(diǎn)，因此可用經(jīng)典函數論的方法分析其積分值收斂趨勢.于是，阻抗元素計算式(4)可改寫(xiě)為：
其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsself
sself=sq∩sp,Δsself→0 (12)
由式(12)可知，在關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分中，被積函數包含了兩項：
(13)
(14)
阻抗矩陣計算式(4)和(12)可分別簡(jiǎn)寫(xiě)為：
(15)
和
(16)
其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
式(15)，(16)都能用來(lái)求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點(diǎn)使用主值積分，便于數值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計，選擇其中的I1和I′2.
三、奇異項轉移方法
在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來(lái)講，對于這類(lèi)積分，數值計算時(shí)只要分格越細(不取奇點(diǎn))，所得的數值結果就越精確.但計算量增加.若取較少的節點(diǎn)，則由于被積函數在奇點(diǎn)附近變化劇烈，導致誤差增大.所以必須尋找一種在數值計算上實(shí)際可行的方案.處理這類(lèi)奇異積分的方法之一是奇異轉移法［1］.本文將這種方法進(jìn)行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問(wèn)題.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數學(xué)處理，得：
(17)
在上式中，第一項被積函數在積分域是連續有限的，因此數值可積.在第二項積分中，因子f1(r,r)只與場(chǎng)點(diǎn)有關(guān)，故可提到積分號外，因此簡(jiǎn)化了奇異項以便于使用積分的解析解：
式中R0=
(19)
四、挖除有限小塊法
下面討論I′2的數值積分.積分項I′2不包含奇點(diǎn)，其被積函數F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點(diǎn)r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數值求積是很困難的.
用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(diǎn)(ΔSsp)，并設F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實(shí)際空間中，Δs0對應于一很小的曲面塊，即Δs01.而在參數空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長(cháng)為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時(shí)I′2變?yōu)椋?p align="center">
(20)
式中第一項不含陡變部分，所以可用一般的數值求積方法計算.第二項不含奇點(diǎn)，可以得到解析結果.
圖1 挖除有很小塊Δs0.(a)參數空間對應的矩形有限小塊，矩形中點(diǎn)為奇異點(diǎn)(u1,u2);(b)實(shí)空間對應的有限小塊Δs0；(c)參數空間中，奇異點(diǎn)(u1,u2)平移到原點(diǎn)0后，矩形有限小塊的極坐標圖 由式(14)可知，由于含有隨源空間r′變化的幾何因子
在上式中，A(r)為不隨源點(diǎn)變化的因子，而且
當Δs01，有R0≈R.
其中，
把式(26)，(27)代入式(28)，化簡(jiǎn)后得I22=0.于是式(20)變成：I′2=I21+0=I21.從上述分析可知，分離的小塊域對積分無(wú)貢獻.所以，在實(shí)際計算中，可以方便地使用數值求積方法計算I′2，并令場(chǎng)點(diǎn)等于源點(diǎn)時(shí)的積分為零. 相關(guān)推薦技術(shù)專(zhuān)區
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和jp(r′)含有的因子1/
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