用DSP實(shí)現FIR數字濾波器

　　FIR濾波器具有幅度特性可隨意設計、線(xiàn)性相位特性可嚴格精確保證等優(yōu)點(diǎn)，因此在要求相位線(xiàn)性信道的現代電子系統，如圖像處理、數據傳輸等波形傳遞系統中，具有很大吸引力。本文簡(jiǎn)單介紹了其線(xiàn)性相位條件和設計方法，并且提供了一種用DSP實(shí)現的方法。

　　一、 引　言

　　在許多信息處理過(guò)程中，如對信號的過(guò)濾、檢測、預測等，都要廣泛地用到濾波器，而數字濾波器則因其設計靈活、實(shí)現方便等特點(diǎn)而廣為接受。

　　所謂數字濾波器就是具有某種選擇性的器件、網(wǎng)絡(luò )或以計算機硬件支持的計算程序。其功能本質(zhì)是按事先設計好的程序，將一組輸入的數字序列通過(guò)一定的運算后轉變?yōu)榱硪唤M輸出的數字序列，從而改變信號的形式和內容，達到對信號加工或濾波以符合技術(shù)指標的要求。

　　二、 數字濾波器的兩種類(lèi)型

　　對于一般的數字濾波器，按照單位沖激響應可分為無(wú)限長(cháng)沖激響應IIR(Infinite Impulse Response)系統和有限長(cháng)沖激響應FIR(Finite Impulse Response)系統。

　　在IIR系統中，用有理分式表示的系統函數來(lái)逼近所需要的頻率響應，即其單位沖激響應h(n)是無(wú)限長(cháng)的;而在FIR系統中，則用一個(gè)有理多項式表示的系統函數去逼近所需要的頻率響應，即其單位沖激響應h(n)在有限個(gè)n值處不為零。

　　IIR濾波器由于吸收了模擬濾波器的結果，有大量的圖表可查，可以方便、簡(jiǎn)單、有效地完成設計，效果很好，但是其相位特性不好控制，必須用全通網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行復雜的相位較正，才能實(shí)現線(xiàn)性相位特性的要求。

　　FIR濾波器則可在幅度特性隨意設計的同時(shí)，保證精確、嚴格的線(xiàn)性相位特性。這在要求相位線(xiàn)性信道的現代電子系統，如圖像處理、數據傳輸等波形傳遞系統中，是具有很大吸引力的。而且，其單位沖激響應是有限長(cháng)的，不存在不穩定的因素，并且可用因果系統來(lái)實(shí)現。

　　下面著(zhù)重討論具有線(xiàn)性相位特性的FIR濾波器。

　　三、 FIR濾波器線(xiàn)性相位特性的條件及設計方法

　　1.線(xiàn)性相位條件

　　為保證濾波器帶內輸出信號的形狀保持不變，常常要求濾波器單位沖激響應h(n)的頻率響應H(ejω)應具有線(xiàn)性的相頻特性，即H(ejω)=H(ω)e-jωk，其中H(ω)為幅頻特性，k為正整數。由傅氏變換的特性可知，線(xiàn)性相位濾波器只是將信號在時(shí)域上延遲了k個(gè)采樣點(diǎn)，因此不會(huì )改變輸入信號的形狀。

　　可以證明，如果濾波器單位沖激響應h(n)為實(shí)數，且滿(mǎn)足：偶對稱(chēng)即h(n)=h(N-1-n)或奇對稱(chēng)h(n)=-h(N-1-n)時(shí)，則其相頻特性一定是線(xiàn)性的。

　　2.設計方法

　　(1) 窗函數設計法

　　從時(shí)域出發(fā)，把理想的無(wú)限長(cháng)的hd(n)用一定形狀的窗函數截取成有限長(cháng)的h(n)，以此h(n)來(lái)逼近hd(n)，從而使所得到的頻率響應H(ejω)與所要求的理想頻率響應Hd(ejω)相接近。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是截止頻率不易控制。

　　(2) 頻率抽樣設計法

　　從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應Hd(ejω)加以等間隔抽樣，所得到的H(k)作逆離散傅氏變換，從而求得h(n) ，并用與之相對應的頻率響應H(ejω)去逼近理想頻率響應Hd(ejω)。優(yōu)點(diǎn)是直接在頻域進(jìn)行設計，便于優(yōu)化，缺點(diǎn)是截止頻率不能自由取值。

　　(3) 等波紋逼近計算機輔助設計法

　　前面兩種方法雖然在頻率取樣點(diǎn)上的誤差非常小，但在非取樣點(diǎn)處的誤差沿頻率軸不是均勻分布的，而且截止頻率的選擇還受到了不必要的限制。因此又由切比雪夫理論提出了等波紋逼近計算機輔助設計法。它不但能準確地指定通帶和阻帶的邊緣，而且還在一定意義上實(shí)現對所期望的頻率響應實(shí)行最佳逼近。

　　四、 FIR濾波器的實(shí)現

　　不論是窗函數設計法，還是頻率抽樣設計法，都要求出濾波器的單位沖激響應h(n)，然后才能在時(shí)域中實(shí)現頻域中的濾波。

　　1.濾波系統的差分方程

　　在頻域，當其輸入信號為X(ejω)時(shí)，如濾波器的頻率響應為H(ejω)，則其輸出信號為Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)。

　　在時(shí)域，設濾波器的單位沖激響應h(n)為一N點(diǎn)序列，即0≤n≤N-1時(shí)h(n)的值不為零，根據離散傅氏變換的性質(zhì)，則可以將濾波器的輸入序列x(n)的響應y(n)表示為x(n)與h(n)的卷積和，即：

　　這就是濾波系統的差分方程，它給濾波器的實(shí)現奠定了理論基礎。即求出時(shí)域的h(n)后，便可通過(guò)卷積來(lái)實(shí)現頻域的濾波。