什么是有限元分析

有限元分析(FEA，Finite Element Analysis)的基本概念是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復雜問(wèn)題后再求解。它將求解域看成是由許多稱(chēng)為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個(gè)合適的(較簡(jiǎn)單的)近似解，然后推導求解這個(gè)域總的滿(mǎn)足條件(如結構的平衡條件)，從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準確解，而是近似解，因為實(shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替。由于大多數實(shí)際問(wèn)題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能夠表示實(shí)際連續域的離散單元。有限元的概念早在幾個(gè)世紀前就已產(chǎn)生并得到了應用，例如用多邊形(有限個(gè)直線(xiàn)單元)逼近圓來(lái)求得圓的周長(cháng)，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱(chēng)為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過(guò)短短數十年的努力，隨著(zhù)計算機技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實(shí)用高效的數值分析方法。

有限元方法與其他求解邊值問(wèn)題近似方法的根本區別在于它的近似性?xún)H限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學(xué)計算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿(mǎn)足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數定義在簡(jiǎn)單幾何形狀(如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數)，且不考慮整個(gè)定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。

對于不同物理性質(zhì)和數學(xué)模型的問(wèn)題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問(wèn)題的基本步驟通常為：

第一步：?jiǎn)?wèn)題及求解域定義：根據實(shí)際問(wèn)題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區域。

第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習慣上稱(chēng)為有限元網(wǎng)絡(luò )劃分。顯然單元越小(網(wǎng)絡(luò )越細)則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。

第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問(wèn)題通?？梢杂靡唤M包含問(wèn)題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。

第四步：?jiǎn)卧茖В簩卧獦嬙煲粋€(gè)適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣(結構力學(xué)中稱(chēng)剛度陣或柔度陣)。

為保證問(wèn)題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。對工程應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無(wú)法求解。

第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯(lián)合方程組)，反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數的連續性要滿(mǎn)足一定的連續條件?？傃b是在相鄰單元結點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導數(可能的話(huà))連續性建立在結點(diǎn)處。

第六步：聯(lián)立方程組求解和結果解釋?zhuān)河邢拊ㄗ罱K導致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機法。求解結果是單元結點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對于計算結果的質(zhì)量，將通過(guò)與設計準則提供的允許值比較來(lái)評價(jià)并確定是否需要重復計算。

簡(jiǎn)言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結果，使用戶(hù)能簡(jiǎn)便提取信息，了解計算結果。