如何利用通信系統測試中的高斯噪聲

噪聲發(fā)生器是測量通信系統性能的有力工具。它允許操作者在參考信號上加入一個(gè)大小可控的熱噪聲，從而確定噪聲對系統性能(例如比特錯誤率BER)的影響。熱噪聲遵循高斯概率密度分布(PDF)，易于從理論分析走向實(shí)際應用。在多數情況下，噪聲發(fā)生器的輸出與實(shí)際的(數學(xué)意義上的)高斯噪聲很接近，適用于性能分析和測試應用。本文接下來(lái)的部分解釋了如何利用測試中的高斯噪聲，以及非理想的高斯噪聲對測試結果有何影響。

系統中信號能量與噪聲的比值通常記做E_b/N_o(或是C/N、C/N_o、SNR)，表示信號強度與噪聲強度大小的比率，是衡量通信信道性能的重要參數。利用加性高斯白噪聲計算信噪比的方法已經(jīng)非常成熟，并被廣泛地應用于各種主要的通信標準中(例如MIL-188-165a and ATSC A80)。

白噪聲在頻譜中所有頻率點(diǎn)上的強度都是相同的，是系統性能測試中噪聲源的理想選擇。噪聲的概率密度為高斯分布的原因是實(shí)際的隨機信號都遵循高斯分布，或者說(shuō)正態(tài)分布的。大多數通信信道中的噪聲(如放大電路引入的噪聲)都是熱噪聲，往往傾向于高斯分布。而且，中心極限定理證明了如果數量足夠多的隨機事件同時(shí)發(fā)生，不管單個(gè)事件服從何種分布(均勻分布，高斯分布或其它)，其總和的極限值趨于無(wú)窮大并為高斯分布。

高斯分布的數學(xué)表達式如下所示：

上式給出了一個(gè)均值為?，方差為Σ²的變量x的概率分布函數。數學(xué)家和統計學(xué)家一般稱(chēng)之為正態(tài)分布，心理學(xué)家稱(chēng)為貝爾曲線(xiàn)，而物理學(xué)家和工程師則稱(chēng)為高斯分布。該函數從數學(xué)上描述了高斯噪聲的大小圍繞其均值上下波動(dòng)的特征(圖1)。

利用噪聲來(lái)測量系統性能有多種方法，其中一種是在待測信道中加入噪聲并不斷提高強度，使得信號質(zhì)量下降直至無(wú)法檢出為止。舉例來(lái)說(shuō)，可以在電視圖像中加入“雪花”作為信號噪聲。導致信道信號質(zhì)量下降的噪聲強度大小可以用來(lái)評估信號處理技術(shù)的能力和效率。

如果需要更加量化的分析，有一種方法是把系統容量分為疊加了噪聲的信號和沒(méi)有噪聲的信號兩部分。沒(méi)有噪聲的信號更加容易分解(圖2)，比如用電壓V₀的信號代表數字比特0，電壓V₁的信號代表數字比特1。在實(shí)際的電子系統中信號上總是存在噪聲，這時(shí)信號幅度就會(huì )圍繞V₁ 或V₀上下隨機波動(dòng)，其概率密度服從1式給出的高斯分布。

如果上述兩個(gè)信號相隔很遠沒(méi)有相互交迭的話(huà)，把他們區分開(kāi)不會(huì )有什么問(wèn)題。然而高斯噪聲的存在使得信號之間總會(huì )有或多或少的交迭(圖3)，此時(shí)該如何區分它們呢？

解決辦法是在二者之間設定一個(gè)門(mén)限值(V₁--V₀)/2，該值小于V₁大于V₀，如果檢測到的信號電壓高于該門(mén)限則判為1，否則判為0。如果比特0的信號噪聲足夠大，超出了門(mén)限值，會(huì )發(fā)生什么情況？在判決算法給定的情況下，0會(huì )被誤判為1，這時(shí)就產(chǎn)生了比特誤碼。

一定數量的差錯是無(wú)法避免的，因此有必要為比特誤碼確定測量標準來(lái)衡量問(wèn)題的嚴重程度。計算以下情況出現的概率是可能的：傳送0時(shí)由于噪聲的存在使得信號電平超過(guò)了門(mén)限值，或者傳送1時(shí)噪聲與信號相抵使得信號電平降低到門(mén)限值以下。根據貝葉斯定理，這個(gè)概率可以表示為：

上式表明總的錯誤概率等于0碼和1碼的錯誤概率分別乘以它們的出現概率之和。在一個(gè)簡(jiǎn)單的系統中只有1和0兩種信號，且1和0出現概率大致相同(1和0的出現可能各占一半)，這時(shí)2式可以改寫(xiě)為：

0碼的錯誤概率由下式給出：

其中n表示疊加了噪聲的信號電壓。1碼的錯誤概率為：

由于高斯分布的對稱(chēng)性，高斯噪聲信道中根據上兩式計算得出的概率數值相等，可統一表示為：

上面的例子中系統的比特錯誤率等于噪聲強度超過(guò)門(mén)限值的概率。高斯分布的統計特性給出了高斯變量x超過(guò)給定值a的概率：

其中erfc為互補誤差函數，erfc(x)= 1-erf(x)，erf為誤差函數。

誤差函數erf廣泛應用于各種數據分析的場(chǎng)合，包括解描述半導體材料中雜質(zhì)分布的微分方程。該方程沒(méi)有解析解，但可以由麥克勞林級數求出近似解。由于其重要性，很多教科書(shū)中都列出了erf(x)的數值表，Microsoft Excel甚至把erfc作為其數據分析工具包Toolpak的一部分。

對應上面的例子，門(mén)限值為(V₁– V₀)/2，噪聲電壓的統計參數為零均值、方差σ²= V_n²，其中V_n²是噪聲電壓的RMS值。因此7式可以表示為：

為了得出表示功率之比的E_b/N_o表達式，可以把8式變形為以電壓的平方來(lái)表示：

上式可以改由功率表示：

其中N_o代表噪聲功率密度。由于每比特功率E_b等于兩信號功率的平均，上式還可以改寫(xiě)為：

至此我們推導出了二進(jìn)制移相鍵控(BPSK)信道中誤碼率的常用公式。同樣的推導方法應用于四進(jìn)制移相鍵控(QPSK)和正交QPSK(OQPSK)信道可以得出相同的結果，對于其它調制機制只需把11式稍加變形即可。對這些調制方式的詳細的推導超出了本文的范圍，但是它很好地解釋了該公式(以及利用它得出的“瀑布曲線(xiàn)”)是來(lái)源于高斯PDF的內在特性。