FFT的前世今生

從直觀(guān)上講，時(shí)域分析清晰易見(jiàn)，示波器即是進(jìn)行時(shí)域觀(guān)察的主要工具，可觀(guān)察波形形狀,測量脈寬，相差等信息。但對于信號的進(jìn)一步分析，比如測量各次諧波在所占的比重和能量分布，時(shí)域上的分析就力不從心了，但是利用從連續時(shí)間傅里葉變換發(fā)展而來(lái)的快速傅里葉變換FFT進(jìn)行分析就很有意義了。通信系統中必不可少的要使用頻譜分析技術(shù)，例如頻分復用技術(shù)。 頻譜分析一般利用快速傅里葉變換FFT計算頻率譜和功率譜，可直接用來(lái)提取特征頻率和譜特征。因為計算機只能夠處理離散的數據點(diǎn)，但FFT是傅里葉變換的一種近似，與傅里葉變換存在差別，且具有固有的局限：柵欄現象。本文就在上一篇《FFT的前世今生》的基礎上，從測試測量的角度，談一談在示波器的FFT運算中容易被大家忽略的一些問(wèn)題。

頻率分辨率與時(shí)基設置(TimeBase)

頻率分辨率的定義是：在使用FFT運算時(shí)，在頻率譜上所能得到的最小的兩個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔。

ΔF=Fs/N=1/NT=1/Tp

稱(chēng)ΔF為頻率分辨率，即：采樣率/采樣點(diǎn)數，ΔF越小說(shuō)明頻率分辨率越高。ΔF僅與信號的實(shí)際長(cháng)度成反比，即待分析的信號持續時(shí)間越長(cháng)，ΔF越小，頻率分辨率越高。

柵欄效應與頻率分辨率：

示波器輸入的信號一般都為非周期的連續信號

()axt

，它的頻譜也是連續的，但是示波器所做的工作

是將 ( ) a x t 進(jìn)行等間隔采樣并且截斷，然后進(jìn)行FFT的運算得到一個(gè)離散的頻譜圖，相當于對連續的頻譜圖也進(jìn)行了采樣。這樣有一部分頻譜分量將被“擋在”采樣點(diǎn)之外，就好像我們在通過(guò)一個(gè)柵欄觀(guān)察頻譜圖，這種現象稱(chēng)為“柵欄效應”。這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)被柵欄所攔住，不可能被我們觀(guān)察到。

不管是時(shí)域采樣還是頻域采樣，都有相應的柵欄效應。只是當時(shí)域采樣滿(mǎn)足采樣定理時(shí)，柵欄效應不會(huì )有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應則影響很大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信號處理失去意義。

柵欄效應是制約頻譜分析諧波分析精度的一個(gè)瓶頸。柵欄效應在非同步采樣的時(shí)候，影響尤為嚴重。在非同步采樣時(shí)，由于各次諧波分量并未能正好落在頻率分辨點(diǎn)上，而是落在兩個(gè)頻率分辨點(diǎn)之間。這樣通過(guò)FFT不能直接得到各次諧波分量的準確值，而只能以臨近的頻率分辨點(diǎn)的值來(lái)近似代替，這就是柵欄效應降低頻譜分析精度的原因。

由此我們可以得出這樣的結論：減小柵欄效應可用通過(guò)提高頻譜采樣間隔也就是頻率分辨率的方法來(lái)解決。間隔小，頻率分辨率高，被“擋住”或丟失的頻率成分就會(huì )越少。但是頻率分辨率的提高會(huì )增加采樣點(diǎn)數，使計算工作量增加。

我們可以通過(guò)兩種方式增加頻率分辨率：

a：物理分辨率=采樣頻率/采樣點(diǎn)數。

物理分辨率的實(shí)際意義在于它可以衡量FFT實(shí)際上可以區分的頻率分量的間隔。提高物理分辨率的方法一般是通過(guò)增加數據的有效長(cháng)度，這相當于在模擬域增加了矩形窗的寬度。從而在模擬域減小了sinc主旁瓣寬度，減小了相鄰頻率分量的混疊。

這種增加采樣點(diǎn)的方法主要針對無(wú)限長(cháng)序列的FFT計算。對于無(wú)限長(cháng)序列，不像有限長(cháng)序列那樣必須補零來(lái)提高視在分辨率，無(wú)限長(cháng)序列可以通過(guò)增加數據長(cháng)度來(lái)提高物理分辨率。

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b：視在分辨率=采樣頻率/分析點(diǎn)數

在序列尾部補零的方法可以使得分析點(diǎn)數增大，故補零的方法可以提高頻譜的視在分辨率。對序列的尾部補零的方法主要針對有限長(cháng)序列。對于有限長(cháng)序列，有時(shí)只能用補零或者插值來(lái)改善頻率分辨率。通過(guò)補零處理，使得頻域采樣密度增大，得到高密度譜。補零的方法所得到的頻譜圖所改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細節。

增加采樣點(diǎn)數，增加了輸入序列的階次，從而提供頻譜的更多細節，這是真正的分辨率(物理分辨率)。對序列只補零而不增加數據，輸入序列和它的頻譜階次依舊沒(méi)有提高，只是把頻譜畫(huà)的密一些，所以改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細節。增加序列的長(cháng)度能夠改善頻譜的真正分辨率，這是基本的規律。

上面的討論可知，改善分辨率的具體方法有如下兩種

(1)對有限長(cháng)序列采取尾部補零的方法提高視在分辨率

(2)對無(wú)限長(cháng)序列通過(guò)真正增加采樣點(diǎn)來(lái)提高物理分辨率

有限長(cháng)序列和無(wú)限長(cháng)序列是針對實(shí)際信號來(lái)說(shuō)的，例如非周期的但是包含無(wú)限長(cháng)信息的信號可以稱(chēng)為無(wú)限長(cháng)序列，嚴格的周期信號和脈沖信號(脈沖之前和之后無(wú)限長(cháng)時(shí)間內都是無(wú)效信息)都可以稱(chēng)為有限長(cháng)序列，當然實(shí)際上嚴格的周期信號是不存在的。對于示波器來(lái)說(shuō)，時(shí)間窗口內采集到的可以是有限長(cháng)序列的全部信息或者是無(wú)限長(cháng)序列的一部分信息。所以，如果采集到的是有限長(cháng)序列的全部信息，那么只能通過(guò)補零的方式增加視在分辨率，如果采集到的是無(wú)限長(cháng)序列的一部分信息，那么可以通過(guò)增加時(shí)間窗口的長(cháng)度(不是采樣點(diǎn))來(lái)增加物理頻率分辨率。