為什么功率最大意味著(zhù)靈敏度最低？

　　對于各種濾波器設計和網(wǎng)路理論問(wèn)題進(jìn)行深入探討是值得關(guān)注的話(huà)題。本文在此討論的主題為採用雙端接LC梯型濾波器的拓樸結構。首先，我必須將來(lái)源電阻和負載電阻設置為相同的值。由于電感器和電容器構成的網(wǎng)路具有兩個(gè)‘埠’，以供訊號進(jìn)入和離開(kāi)網(wǎng)路。在我們的濾波器中，輸入埠從具有特定電阻值的來(lái)源處獲得訊號（一般無(wú)法變更），輸出埠則連接到由另一個(gè)電阻構成的‘負載’（通?？梢约右钥刂疲?。

　　圖1顯示的是範例濾波器。其輸出端設計採用與來(lái)源電阻值一樣的電阻端接。圖2顯示的是非常良好且平坦的通帶響應。圖3顯示在移除端接電阻后的較差響應。

　　圖1： 雙端接低導通濾波器網(wǎng)路範例。

　　圖2：圖1元件在具有負載電阻時(shí)的電壓增益。

　　圖3：圖1元件在無(wú)負載電阻值時(shí)的電壓增益。

　　我們可以看到，對于本文所用的特定元件值，低漣波平坦響應只有在加入負載電阻的情況下才會(huì )出現。但這并非是具有兩個(gè)電阻的結果。圖4是在無(wú)負載電阻情況下產(chǎn)生同等振幅響應（圖5）的網(wǎng)路值集合。其電壓增益為0dB，而非6dB。但你是否真的會(huì )在大多數實(shí)際情況中使用該濾波器？答案不言而喻，因為響應相同，而增益更大，而且可以節省一個(gè)元件，誰(shuí)不喜歡呢？

　　圖4：無(wú)負載電阻的各種元件值組合。

　　圖5：無(wú)負載電阻時(shí)，響應依舊非常出色且平坦。

　　圖6和圖7說(shuō)明了我們抗拒採用‘單端接’誘惑的塬因。這兩張圖是元件值在±5%允許範圍內變化時(shí)，100個(gè)響應曲線(xiàn)疊加在一起的狀況。我們可以清晰地看出雙端接濾波器更能夠適應所使用元件值的小幅度變化。在下文中還可以看到當我們使用某些擴展技巧時(shí)──在不使用這些電感器的情況下，以這些網(wǎng)路為‘塬型’構建主動(dòng)濾波器──這種特性仍然得以保留。

　　圖6：對圖1值的蒙特卡羅分析。

　　圖7：對圖4值的蒙特卡羅分析。

　　雙端接濾波器有什么特別之處呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，我們必須考慮當訊號從來(lái)源電阻通過(guò)LC網(wǎng)路到負載電阻時(shí)時(shí)，到底發(fā)生了什么？

　　稍微岔開(kāi)一下話(huà)題。想像一下你正在面試一個(gè)類(lèi)比設計職務(wù)，并要求回答下面的問(wèn)題：

　　“你有一個(gè)50歐姆輸出阻抗的正弦波產(chǎn)生器，開(kāi)路的情況下可以輸出1Vrms的電壓?？蛻?hù)給你一個(gè)輸入阻抗為3.3K歐姆的黑盒子；如果該黑盒子要能正常工作，需要至少3Vrms的50KHz輸入訊號。你必須讓系統工作，但卻沒(méi)有電源。你在實(shí)驗室唯一能夠使用的電子元件是雙導線(xiàn)的被動(dòng)元組件。請說(shuō)明如何解決上述問(wèn)題及其工作塬理?！保ò咐?）

　　那么這個(gè)挑戰就在于沒(méi)有電池或太陽(yáng)能電池，也沒(méi)有電晶體或整合電路，而且肯定也沒(méi)有變壓器。在繼續讀下去之前（特別是你準備參加面試的情況下）請先好好想想。也許我們可以從圖2找到一些靈感。想到了嗎？這裡有個(gè)適用的解決方案：

　　圖8：適合案例1的解決方案。

　　圖9：圖8解決方案的頻率響應

　　我們只使用被動(dòng)雙導線(xiàn)元件構建一個(gè)高Q值的低導通濾波器。圖9顯示的是訊號產(chǎn)生器上設置為1Vrms開(kāi)路輸出到黑盒子電壓的全頻段狀況。我們明確地實(shí)現了讓系統在規定頻率上工作的電壓增益。那么，哪兒可找得到免費的午餐呢？

　　當然什么地方都不會(huì )有。但我們可以問(wèn)個(gè)問(wèn)題：“我們能夠從這類(lèi)解決方案中得到的最大電壓增益值是多少？”要得到結果，首先要認識到，雖然從這樣的元件組合中得到電壓增益是常見(jiàn)的，但不可能得到功率增益。這就是理解這些被動(dòng)濾波器網(wǎng)路的關(guān)鍵所在：功率進(jìn)入網(wǎng)路，然后離開(kāi)網(wǎng)路。如果來(lái)源能在特定輸出電阻上提供特定的輸出電壓，對于連接的負載而言，能夠耗散的功率有嚴格的上限。你可能在學(xué)校中學(xué)習過(guò)最高功率塬理（Maximum Power Theorem），但卻未曾多加注意。但對被動(dòng)濾波器而言，這個(gè)塬理非常重要，今后請予以相當的關(guān)注。

　　你可能已經(jīng)想起來(lái)了，實(shí)現最高功率傳輸的條件是負載電阻和來(lái)源電阻相等。你可以使用大學(xué)？媥ガ鴘漪燥無(wú)味的微積分來(lái)證明。先用一個(gè)敘述來(lái)表達負載電阻上耗散的功率，根據負載電阻RL計算該功率的導數。將導數設為0，然后求解RL。

　　是不是一下子就豁然開(kāi)朗了？你首先想到的是用變壓器。這是讓負載電阻與來(lái)源電阻匹配的傳統方法。在理想的情況下，變壓器可以把功率從來(lái)源無(wú)損地傳輸到負載，不過(guò)它一般用于電壓、電流不同的情況下。使用適當的匝數比（turns ratio），不論負載電阻值是多少，都可以在理想的情況下在負載電阻上獲得相同的耗散功率。

　　這就是我們對圖8的LC濾波器網(wǎng)路採用的措施：我們導入了一個(gè)變壓器。所有進(jìn)入LC網(wǎng)路的功率又出去了。在採用正確元件值的情況下，我們可讓所有功率在特定頻率上全部到達負載上，而無(wú)論負載的值是多少。

　　如果我們可以使用變壓器或者變壓器的等效LC線(xiàn)路，我們可以計算出50歐姆來(lái)源和3.3K歐姆負載之間能夠獲得的最大電壓增益。所需的電壓轉換等于阻抗比的平方根，在本例中為8.12倍。將該比例與我們在等效電阻端接例子中的電壓增益0.5相乘。所以在任意LC值下可以得到的最大增益為4.06倍，或者大約12.2dB。圖10顯示以我們自製的變壓器任意選擇1，000種不同的L和C值得到的結果。響應曲線(xiàn)的峰值從未超過(guò)預計值。至于為什么不是每個(gè)頻率下所有功率都耗散在負載上？那是因為部份功率被反射回來(lái)源。

　　圖10：響應曲線(xiàn)的峰值從未超過(guò)預計值。

　　所有射頻工程師都開(kāi)始不耐煩地打哈欠了，因為這對你們來(lái)說(shuō)相當稀鬆平常。設計LC網(wǎng)路，確保讓所有來(lái)源的功率傳輸到負載，是一項稱(chēng)之為阻抗匹配的核心射頻技術(shù)。這確實(shí)像兩個(gè)不等效電阻之間的濾波器設計（每種設計方案都有其伴隨的想像部份需要加以考慮）。一般是用L和C來(lái)完成的，而非體積龐大、成本高昂的變壓器。除了微波頻段外，其中的變壓器體積不大、價(jià)格也不高，不過(guò)當導體靠得太近的時(shí)候，就會(huì )造成諧振波峰。

　　現在回到我們最初討論的問(wèn)題。為什么一個(gè)（正確設計的）雙端接濾波器具有如此優(yōu)越的‘靈敏度’特性？這是因為對于濾波器通帶內的一個(gè)或者有時(shí)多個(gè)頻率，它工作在功率傳輸的最大可能點(diǎn)上。請再次觀(guān)察圖6和圖7。在雙端接濾波器情況下，元件值的任何變化只會(huì )讓功率傳輸（隨之為電壓增益）下降而非上升。在被稱(chēng)為反射零點(diǎn)的特定關(guān)鍵頻率上，濾波器響應的‘靈敏度’與網(wǎng)路中每個(gè)反應元件呈拋物線(xiàn)函數的下行關(guān)係。這樣就很難讓網(wǎng)路的響應比沒(méi)有應用功率傳輸約束時(shí)更差。后者狀況指的是單端接的時(shí)候，或者任何濾波器的設計響應未能滿(mǎn)足最大功率增益值的時(shí)候。要得到最高功率增益值，可以?huà)侀_(kāi)濾波器，使用變壓比較為合適的理想變壓器。

　　還有一個(gè)問(wèn)題。我們在開(kāi)始的時(shí)候曾經(jīng)比較過(guò)兩種濾波器，其中一種濾波器的負載電阻與來(lái)源電阻相等，另一個(gè)則沒(méi)有負載電阻。我們能否針對在特定來(lái)源電阻和負載電阻的比率下成功設計出低靈敏度、相同頻率響應的濾波器？有時(shí)候是可行的，但至于我們的低導通濾波器案例則不能。對于特定的響應，我們需要平坦的響應，讓DC增益與那些‘觸點(diǎn)’最大值相等。這就意味著(zhù)在該極低靈敏度的濾波器中，來(lái)源電阻和負載電阻必須等值。對于更加普遍的情況而