均勻傳輸線(xiàn)正弦穩態(tài)分析

一、長(cháng)線(xiàn)復數方程的推導

在正弦激勵下，沿線(xiàn)各處的電壓、電流在穩態(tài)時(shí)都是正弦波，故可用相量（復數）表示，記作：

（10-3-1）

（10-3-2）

式中，Im表示取虛部，、各為電壓、電流相量，只和x有關(guān)，以下簡(jiǎn)寫(xiě)為、。將式（10-3-1）、式（10-3-2）代入式（10-2-6）、式（10-2-7），得：

（10-3-3）

（10-3-4）

式中：

（10-3-5）

上式中分別稱(chēng)為傳播系數、衰減系數和相位系數；是長(cháng)線(xiàn)的單位長(cháng)度的串聯(lián)阻抗，單位是W/m或W/km；是長(cháng)線(xiàn)的單位長(cháng)度的并聯(lián)導納，單位是S/m或S/km。

的單位是奈培/公里（Np/km）或奈培/米（Np/m），a 的單位是rad/km或rad/m。

式（10-3-3）、式（10-3-4）是復數形式的齊次常微分方程，其特征方程為：，特征根為，故式（10-3-3）的解為：

（10-3-6）

式中，，是積分常數，由邊值條件決定。

將式（10-2-3）改寫(xiě)為復數形式：

故：

（10-3-7）

式中：

（10-3-8）

稱(chēng)為長(cháng)線(xiàn)的特性阻抗，單位是。

為了求式（10-3-6）、式（10-3-7）確定的解，需要知道邊界條件。設始端電壓、電流各為、，代入此兩式中：

解得：

（10-3-9）

將、代入式（10-3-6）、式（10-3-7），得到沿線(xiàn)任一點(diǎn)處的電壓和電流。

（10-3-10）

同理可得：

（10-3-11）

現令x=l，l是線(xiàn)長(cháng)，則終端的電壓和電流由式（10-3-10）、（10-3-11）得：

（10-3-12）

如已知終端電壓、電流，解上式可得始端電壓、電流：

（10-3-13）

已知、，也不難求沿線(xiàn)任一點(diǎn)的電壓和電流，只需將式（10-3-13）代入式（10-3-10）、式（10-3-11）中即可：

(10-3-14)

令是從任一點(diǎn)到終端的距離，上式成為：

（10-3-15）

式（10-3-10）、式（10-3-11）和式（10-3-15）都是長(cháng)線(xiàn)的基本方程。

二、輸入阻抗和長(cháng)線(xiàn)參數的測試

設傳輸線(xiàn)長(cháng)為，由式（10-3-13）中的兩式可求始端輸入阻抗為：

（10-3-16）

設負載阻抗，代入上式：

（10-3-17）

當終端空載時(shí)，，有：

（10-3-18）

當終端短路時(shí),,有：

(10-3-19)

將、代入式（10-3-17）中，得：

（10-3-20）

在上式中，首先用實(shí)驗的方法測出在終端開(kāi)路、短路時(shí)始端的輸入阻抗、，如再知道負載阻抗，就可計算此時(shí)的始端輸入阻抗。

由式（10-3-18）、式（10-3-19）知：

（10-3-21）， （10-3-22）

又因：

（10-3-23）

合并上兩式得：

故：

（10-3-24）

從式（10-3-21）、式（10-3-24），可計算，于是：

（10-3-25）

又知，，從和w，可求。

例10-3-1 某單相均勻傳輸線(xiàn)的R₀=0.08W/km，wL₀=0.4W/km，wC₀=3′10^-6S/km，G₀=0，線(xiàn)長(cháng)km，負載終端電壓130KV，負載消耗功率50MW，負載功率因數0.9（感性），求始端電壓、始端電流、輸入功率和效率。

解：取終端電壓作為參考相量，即，則終端電流為：

所以：

單位長(cháng)度的串聯(lián)阻抗為：

單位長(cháng)度的并聯(lián)導納為：

特性阻抗：

傳播系數：

_*

*本書(shū)后面述及的方程，在計算過(guò)程中如無(wú)特殊說(shuō)明，均為數值方程。a 單位為rad/km，b 單位為Np/km，g 單位為1/km，l 單位為km。

始端電壓為160kV，始端電流為370A，始端功率P₁為：

傳輸效率：