關(guān)聯(lián)矩陣與節點(diǎn)電流定律

根據第一章中介紹的圖論知識可知，實(shí)際電路結構可用一個(gè)有向圖來(lái)具體描述。如某一電路的有向圖如圖7-2-1所示，把有向圖各節點(diǎn)和支路編號，然后依次把各支路與相應連接點(diǎn)的連接信息用數字形式記憶下來(lái)。根據這些信息可完整描述電路的聯(lián)接關(guān)系，若把這些信息輸入計算機，則計算機就會(huì )根據這些信息自動(dòng)識別電路關(guān)系，并應用基爾霍夫定律建立相應的電路方程，進(jìn)行相應的運算。

圖 7-2-1

電路中支路與節點(diǎn)的連接關(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述。設電路的節點(diǎn)數為，支路數為b。依次給節點(diǎn)和支路編號（節點(diǎn)編號用一圓圈加以區別），然后把有向圖用一個(gè)階矩陣來(lái)表示，記為。矩陣的行對應于有向圖的節點(diǎn)，矩陣的列對應于網(wǎng)絡(luò )的支路。中的元素作如下定義：

（7-2-1）

式中，稱(chēng)為電路的節點(diǎn)—支路關(guān)聯(lián)矩陣。例如對于圖7-2-1所示的電路，可寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣為：

關(guān)聯(lián)矩陣的每一列對應于一條支路，每一支路必連接于二個(gè)節點(diǎn)，且方向為一進(jìn)一出。因此的每一列中只包含二個(gè)非零元素＋1和－1，如上面關(guān)聯(lián)矩陣所示。如果把所有行的元素按列相加，則得到全零的行，因此矩陣的行不是彼此獨立的。對于中任一行元素可以通過(guò)把除該行以外的所有行相加并變號而獲得。

如果把的任一行劃去，剩下的矩陣為階矩陣，記作A。由上分析可知，用該新矩陣A來(lái)代替同樣能充分描述有向圖的連接關(guān)系，矩陣A稱(chēng)為降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣，劃去的行對應的節點(diǎn)即為參考節點(diǎn)，上圖中若以節點(diǎn)④為參考點(diǎn)，則其降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣為

在實(shí)際應用中通常采用降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣形式，因此在一般敘述中往往略去“降價(jià)”二字。關(guān)聯(lián)矩陣可由給定的網(wǎng)絡(luò )有向圖得出，同樣當給定關(guān)聯(lián)矩陣A后也可推導出它所代表的有向圖。

關(guān)聯(lián)矩陣A的每一行是相互獨立的，每行之間是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，A的秩等于矩陣的行數。實(shí)際上由A的元素的定義可知，關(guān)聯(lián)矩陣的每一行反映了該節點(diǎn)的電流平衡關(guān)系式。A中線(xiàn)性獨立的n行代表了網(wǎng)絡(luò )中個(gè)節點(diǎn)的電流平衡關(guān)系。

下面分析關(guān)聯(lián)矩陣A與支路電流，支路電壓，節點(diǎn)電位之間的關(guān)系。設網(wǎng)絡(luò )各支路電流為，支路電流方向與有向圖支路方向一致，用矩陣形式表示的支路電流列向量為。

若用關(guān)聯(lián)矩陣A左乘支路電流列向量i，可得一n行的列向量矩陣。由關(guān)聯(lián)矩陣的定義可知，該列向量中每一行的元素之和恰為離開(kāi)該節點(diǎn)的支路電流與流入該節點(diǎn)的支路電流之代數和，且離開(kāi)節點(diǎn)時(shí)電流為正，流入節點(diǎn)時(shí)電流為負。由基爾霍夫節點(diǎn)電流定律可知，節點(diǎn)電流代數和恒為零。因此可得A左乘i后其值為零向量，即有：

（7-2-2）

該式反映了網(wǎng)絡(luò )各節點(diǎn)的電流平衡關(guān)系，稱(chēng)為矩陣形式的基爾霍夫電流定律。對于正弦穩態(tài)交流電路分析，上式可寫(xiě)為：

（7-2-3）

對于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò )，設支路電流列向量為，該網(wǎng)絡(luò )的關(guān)聯(lián)矩陣已寫(xiě)出，用A左乘i可得：

由式可見(jiàn)，的乘積列向量其實(shí)為n個(gè)節點(diǎn)的KCL方程式。

在用節點(diǎn)電壓法解題時(shí)要用到節點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系。下面分析節點(diǎn)電壓與支路電壓之間關(guān)系的矩陣形式。設網(wǎng)絡(luò )各節點(diǎn)電壓的列向量為，（式中為使節點(diǎn)電壓與支路電壓相區別，在下標中用一加圈數字表示節點(diǎn)），參考節點(diǎn)的電壓為零。支路電壓列向量為。若用關(guān)聯(lián)矩陣的轉置矩陣左乘節點(diǎn)電壓列向量，可得一個(gè)b 行的列矩陣。前已指出，A中每一列只包含二個(gè)元素（若支路連接于參考節點(diǎn)，則該列只包含一個(gè)元素），反映支路所連接的二個(gè)節點(diǎn)，且為一正一負，即支路方向離開(kāi)節點(diǎn)為正，反之為負。因此與乘積的列向量第一行中只包含該支路離開(kāi)節點(diǎn)的電壓與指向節點(diǎn)的電壓之差，即為該支路的支路電壓值。因此左乘的值即為支路電壓列向量u，即有：

（7-2-4）

對于正弦穩態(tài)交流電路有：

（7-2-5）

對于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò )，其節點(diǎn)電壓列向量為，用左乘，得

式（7-2-4）反映了節點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系。