非周期信號的傅里葉變換

前面已討論了周期非正弦信號的傅里葉級數展開(kāi)，下面來(lái)分析非周期信號的傅里葉變換。當周期信號的重復周期T無(wú)限增大時(shí)，周期信號就轉化為非周期信號（單個(gè)不重復信號），如對于周期矩形脈沖波，當周期T趨于無(wú)窮大時(shí)，周期信號就轉化為單個(gè)非周期脈沖。從例6-1-2的結果可知，此時(shí)信號頻譜間隔趨于零，即譜線(xiàn)從離散轉向連續，而其振幅值則趨于零，信號中各分量都變?yōu)闊o(wú)窮小。盡管各頻率分量從絕對值來(lái)看都趨于無(wú)窮小，但其相對大小卻是不相同的。為區別這種相對大小，在周期T趨于無(wú)窮大時(shí)，求的極限，并定義此極限值為非周期函數的頻譜函數，即：

當時(shí)，，轉化為，即離散的頻譜轉為連續頻譜，上式可改為：

（6-4-1）

對于一個(gè)非周期信號，可由上式求出其頻譜函數，同理若已知非周期信號頻譜函數，則也可求出其時(shí)域表達式。其計算式為：

（6-4-2）

式（6-4-1）與式（6-4-2）是一對傅里葉積分變換式，式6-4-1把時(shí)域信號轉換為頻域的頻譜函數信號，稱(chēng)為傅里葉正變換。而式6-4-2是把頻域信號變換為時(shí)域信號，稱(chēng)為傅里葉逆變換。進(jìn)行傅里葉變換的函數需滿(mǎn)足狄里赫里條件和絕對可積條件。

例6-4-1 求圖6-4-1a所示的單個(gè)矩形波的頻譜函數，并作振幅頻譜與相位頻譜圖。

圖 6-4-1

解：?jiǎn)蝹€(gè)矩形波的頻譜函數為：

它的幅度頻譜與相位頻譜如圖6-4-1b、c所示。

從振幅頻譜圖上可見(jiàn)，矩形脈沖信號所包含的頻率分量隨頻率增大而很快減小，信號主要成份集中于之間，即頻率寬度為。如果脈沖寬度變窄，即值變小，則信號主要頻率分量所占的頻率范圍就變大。反之當脈沖變寬，值變大，則其主要頻率分量范圍就變小。對于一個(gè)較窄的脈沖信號，如果電路要使它通過(guò)，則電路的特性必須能使較大頻率范圍的所有信號都能通過(guò)。傅里葉變換在信號分析與處理中有重要意義。