鮮為人知的相位噪聲特性

相位噪聲涵蓋范圍很廣，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測量方法 以及它對系統性能的影響。傳統相位噪聲分析的重點(diǎn)僅放在單載波無(wú)線(xiàn)電系統中正弦波信號的降低，而相位噪聲對多載波接收機、寬帶系統或數字無(wú)線(xiàn)電的影響則很少涉及。一些鮮為人知的相位噪聲問(wèn)題現在越來(lái)越引起設計人員的關(guān)注。

關(guān)于相位噪聲專(zhuān)題的信息有很多，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測量方法 以及它對系統性能的影響。眾所周知，振蕩器和時(shí)鐘的相位噪聲已成為導致現代無(wú)線(xiàn)電系統性能降低的因素之一。然而，大多數傳統相位噪聲分析僅將重點(diǎn)放在單載波無(wú)線(xiàn)電系統中正弦波信號的降低，而相位噪聲對多載波接收機、寬帶系統或數字無(wú)線(xiàn)電的影響則很少涉及。本文將討論一些與采樣數據系統相位噪聲有關(guān)的一些鮮為人知的問(wèn)題，主要是多載波無(wú)線(xiàn)電、寬帶信號和欠采樣無(wú)線(xiàn)電體系結構等。

采樣數據系統的相位抖動(dòng)

計算采樣數據系統中由相位噪聲引起的信噪比（snr）性能降低的最簡(jiǎn)單的方法是將相位噪聲轉換成相位抖動(dòng)。利用在給定頻率條件下，時(shí)間延遲與相位延遲相同的原理很容易實(shí)現這一轉換。擴展這一原理并以噪聲功率的形式寫(xiě)出，得到公式（1）：

其中，{ }=相位噪聲有效值，單位為弧度（rad）

_{ }=相位抖動(dòng)有效值，單位為秒(s)

_{clk}=時(shí)鐘頻率，單位為弧度/秒(rad/s)
也就是說(shuō)，對于一個(gè)給定的時(shí)鐘抖動(dòng)誤差，信號頻率越高則相位誤差越大。 _{ }項是時(shí)鐘的總積分相位噪聲 ，并通過(guò)下式定義時(shí)鐘snr：

snr_{clk}=-10log( ^{2}_{ })

這樣，（1）式將總積分相位噪聲，或時(shí)鐘snr與總時(shí)鐘抖動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。相位噪聲和時(shí)鐘抖動(dòng)是同一現象的兩種不同表述方式。
傳統采樣數據snr分析采用圖1作為確定時(shí)鐘噪聲在采樣數據中產(chǎn)生誤差的輔助方法，由此可以得到下面幾個(gè)公式。

零均值，獨立性

由此得到噪聲功率是抖動(dòng)功率和信號功率導數的函數。
用一個(gè)帶有抖動(dòng)的時(shí)鐘對信號采樣后的snr定義為：

例如，在一個(gè)單正弦波中，

v_{out}(t)=asin _{o}t
v_{out}(t)=a _{o}cos _{o}t

因此，
e,﹛v_{out}^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=frac{a^{2}}{2}

e,﹛v_{out},^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=frac{ ^{2}_{o}a^{2}}{2}

利用（2）式，得到

將上述結論擴展到多載波信號是一件很容易的事。采用與前面相同的過(guò)程，只是將v_{out}定義為n個(gè)等幅正弦波的和，

這個(gè)結論是相對于總信號v_{out}的。當只相對于其中一個(gè)載波時(shí)，snr變成該式用于多載波系統中的單載波。

與單載波情況（3）式相比，（4）式中的分母含有n個(gè)頻率項。每個(gè)載波基底的snr（dbc）已經(jīng)降低大約10log(n)。然而，在數據轉換器中，每一個(gè)載波可能都需要根據信號統計量降低10log(n) ～ 20log(n)，以避免削弱量化器。這相當于將量化噪聲和熱噪聲本底提高20log(n)，從而使多載波時(shí)鐘抖動(dòng)對總snr的影響比單載波情況下小。這時(shí)量化噪聲和熱噪聲可能起到更大的作用。

許多現代無(wú)線(xiàn)電系統不使用窄帶載波。調制后的數據經(jīng)常占有相當寬的頻譜。為了確定這些系統中時(shí)鐘抖動(dòng)對snr的影響，為方便起見(jiàn)假設數據具有零均值，并且平坦的頻譜均勻地分布在fl和fh之間（fl < fh），如圖2所示 。將幅度平方并對帶寬積分，可得到總信號功率 out 。

帕斯瓦爾定理的一種表述方式指出一個(gè)信號在時(shí)域的能量與該信號在頻域的能量相等，也就是，

其中∣g(f)∣^{2}是功率譜密度，單位為w/hz。

此外，使用傅立葉變換的微分定理，即一個(gè)導數的傅立葉變換等于原函數的傅立葉變換乘以i ，如下所示：

將上式代入帕斯瓦爾定理，得到v(t)的功率與i g( )的功率相等，如下式所示：

由于g(f)= 定義域在fl 和fh 之間（并且此定義域以外為0），上式變?yōu)椋?/p>

代入（2）式，

這是一個(gè)在fl 和 fh之間均勻分布的寬帶信號經(jīng)帶有抖動(dòng) t的時(shí)鐘采樣后的snr。為了檢測其是否正確，設fl=fh=fo（所有能量都位于一個(gè)單頻率fo處），得到的表達式與單頻率情況(3)式相同。

假設fl=fo bw/2，fh=fo+bw/2我們可以得到另一個(gè)表達式。這種情況下該表達式變?yōu)?/p>

用于中心頻率為fo帶寬為bw的均勻信號 。

再做一次正確性檢查，當bw=0時(shí)其結果與單載波情況下的（3）式相同。

上述所有推導得到的一個(gè)結論是，只要fo>10bw，信號的帶寬就幾乎可以忽略。將已調制信號作為單載波信號處理會(huì )得到本質(zhì)上相同的結果。然而，如果該條件不成立，則采用單載波近似將給出過(guò)于樂(lè )觀(guān)的結果。

本文所討論的重點(diǎn)為采樣數據系統，但文中沒(méi)有提到混疊的影響。上述推導出的全部公式都假設沒(méi)有混疊現象。抖動(dòng)的帶寬被認為完全（并且方便地 ）落在一個(gè)奈奎斯特區內。如果考慮時(shí)鐘抖動(dòng)相當壞，并且信號與奈奎斯特區邊界足夠接近，則由抖動(dòng)產(chǎn)生的噪聲會(huì )在帶內形成混疊，從而進(jìn)一步降低snr。圖3示出了這種影響。時(shí)鐘饋通信號會(huì )產(chǎn)生類(lèi)似的問(wèn)題。如果信號和時(shí)鐘頻率很接近，則時(shí)鐘產(chǎn)生的相位噪聲會(huì )直接滲漏到輸出端，使噪聲本底變壞。

采樣數據系統中的相位噪聲

前面的討論中也沒(méi)有考慮到時(shí)鐘相位噪聲對頻譜的影響。只是考慮了利用（1）式從總積分相位噪聲計算出總的抖動(dòng)（有效值，單位為秒）。為了了解時(shí)鐘相位噪聲頻譜如何影響采樣數據頻譜，最便捷的方法是利用一個(gè)單正弦波信號。將（1）和（3）結合推導出（6）。

采樣信號的snr與時(shí)鐘的snr相同，只是相差一個(gè)比例系數，即時(shí)鐘和信號頻率比。當信號頻率變高時(shí)，snr會(huì )以20log的形式降低。這就說(shuō)明為什么欠采樣系統（即帶通信號頻率僅占據高于奈奎斯特頻帶的一小部分）要求時(shí)鐘比基帶采樣系統具有好得多的相位抖動(dòng)性能。事實(shí)上，中頻采樣數字無(wú)線(xiàn)電結構的性能通常受到時(shí)鐘相位噪聲而非數據轉換器性能的限制。

雖然從（6）式中沒(méi)有看出，但是如圖3所示，時(shí)鐘相位噪聲的頻譜形狀會(huì )加在采樣數據之上。這可以通過(guò)使用混頻器模擬采樣過(guò)程的方法直觀(guān)地看到。如圖4所示，當將一個(gè)具有相位噪聲 的時(shí)鐘施加到混頻器時(shí)，其輸出會(huì )包含兩個(gè)混頻的乘積，每一個(gè)都包含時(shí)鐘的完全相位噪聲 。雖然這一簡(jiǎn)化的模型沒(méi)有顯示出（6）式所描述的比例系數，但它可用來(lái)顯示出時(shí)鐘相位頻譜如何影響作為結果的信號。

通過(guò)相位調制時(shí)鐘并將其輸入一個(gè)adc很容易測試。通過(guò)施加不同的信號頻率，還可以驗證（6）式。當ad9430 adc的時(shí)鐘頻率為61.44 mhz時(shí)調制時(shí)鐘相位使其第一邊帶為 60dbc。圖5a，5b和5c顯示了這一實(shí)驗的結果。

圖5a示出的是輸入信號頻率為3.84 mhz時(shí)得到的結果。時(shí)鐘調制分量可以看成是靠近基頻信號的兩個(gè)雜散頻率或毛刺。根據（6）式，時(shí)鐘調制毛刺應為 60 20log(61.44/3.86)= 84 dbc。這與圖5a所示的結果非常接近。

圖5b示出的是輸入信號頻率為65.28 mhz時(shí)得到的結果。這是第3奈奎斯特區。fft顯示基帶混疊與圖5a中3.84 mhz信號的位置相同（即，65.28 mhz 61.44 mhz = 3.84 mhz）。這里fclk~fsig和 60dbc時(shí)鐘雜散頻率可以很容易的被看成是雜散頻率加在信號之上，也是 60dbc。這正是按照（6）式所期望的結果。

圖5c示出的是輸入信號頻率為124.72 mhz時(shí)第5奈奎斯特區的結果。該頻率大約是圖5b所示頻率的2倍，并且根據(6)式，雜散頻率應該增加大約6 db，這從圖中也可以看到。

這樣就說(shuō)明時(shí)鐘頻譜確實(shí)出現在采樣信號附近并且具有一個(gè)由（6）式?jīng)Q定的比例系數。但是，到目前為止上述討論并未區分adc和dac。dac表現出的特性會(huì )和adc相同嗎？可以在ad9744 dac上做相似的實(shí)驗，時(shí)鐘頻率為61.44 mhz，通過(guò)相位調制給出 40 dbc邊帶，從而生成11 mhz正弦波，5個(gè)奈奎斯特頻帶的結果如圖6所示。

可以清楚地看出dac輸出固有的sinc函數。但是時(shí)鐘雜散頻率發(fā)生了什么變化？這可以在每一個(gè)輸出圖形中清楚地看出，只是其振幅不像在adc中那樣增加。相對于滿(mǎn)度值，其雜散頻率成分的幅度保持不變。

可以從幾個(gè)方面來(lái)解釋這一點(diǎn)。當從dbc角度觀(guān)看時(shí)，隨著(zhù)信號頻率增大，調制雜散頻率按照（6）式所描述的相同方式變壞。sinc函數同時(shí)作用于信號幅度和產(chǎn)生的時(shí)鐘相位噪聲。計算與每個(gè)載波相關(guān)的雜散頻率幅度（以dbc的形式），（6）式是個(gè)很好的描述。

另一方面，sinc函數特性定義為

噪聲的幅度由（6）式的倒數給出

也就是說(shuō)，噪聲直接與時(shí)鐘相位噪聲和信號頻率成比例。將sinc函數平方（因為檢測的是功率譜密度）并將兩者相乘以得到dac產(chǎn)生的合成噪聲傳遞函數：

正弦函數引起的周期零點(diǎn)特性仍然存在。然而，sinc函數的分母是產(chǎn)生高頻滾降的原因。這一幅度的減弱恰好與（6）式所描述的在高頻處增加的相位噪聲相抵消。這樣一來(lái)，dac產(chǎn)生的相位噪聲不會(huì )在高頻部分增長(cháng)。

在系統調試中的應用

上述結論除了能夠解決與系統設計相關(guān)的一些明顯問(wèn)題以減小信號降低，還具有其他一些值得一提的作用。這與發(fā)現未知毛刺和噪聲源有關(guān)。例如，如果dac輸出端的本底噪聲升高，則絕大多數情況下不是由時(shí)鐘相位噪聲引起的，可能是由于數字信號耦合到輸出電路引起。

如果在采樣信號中存在毛刺，檢驗毛刺是否是由時(shí)鐘引起的一個(gè)比較好的測試方法就是改變信號幅度。模擬失真項的變化率將是信號幅度變化率的2倍（2階失真）或3倍（3階失真）。當信號幅度改變時(shí)，由數據轉換器量化過(guò)程的非線(xiàn)性產(chǎn)生的毛刺可能完全不會(huì )變化，或者如果它們變化，也將是不可預測的變化。另一方面，由時(shí)鐘產(chǎn)生的毛刺會(huì )以db為單位隨信號呈線(xiàn)性變化。

為了確定采樣數據信號中毛刺的來(lái)源，不僅要看可能由信號直接耦合到輸出端所產(chǎn)生明顯的雜散頻率處的毛刺，還要看偏移該信號頻率處的毛刺。例如，如果毛刺與載波相差10 mhz，要檢查系統中是否存在10 mhz振蕩器。如果存在，該頻率很可能通過(guò)時(shí)鐘滲透到輸出信號。

結論

本文討論了相位噪聲和時(shí)鐘抖動(dòng)之間的關(guān)系，推導出當用帶有抖動(dòng)的時(shí)鐘對信號采樣時(shí)所出現的snr降低，并將這一結論擴展到多載波和寬帶調制數據系統。隨后討論了時(shí)鐘相位噪聲頻譜問(wèn)題，并且通過(guò)adc和dac輸出信號頻譜驗證了這些結論。最后，將這些結論用于調試可能存在非正常毛刺的系統，除了上述結論其他理由可能都無(wú)法解釋。