無(wú)損傳輸線(xiàn)相位常數和無(wú)限帶寬的研究

學(xué)習如何推導無(wú)損傳輸線(xiàn)的波動(dòng)方程，并觀(guān)察其無(wú)限帶寬和相位常數。

當你開(kāi)始學(xué)習射頻設計時(shí)，可能會(huì )遇到的一個(gè)令人惱火的事情是傳輸線(xiàn)效應。在過(guò)去的好日子里，當你在低頻板上工作時(shí)，電線(xiàn)只是一些互連，現在卻變成了一些令人生畏的方程式所描述的復雜組件！起初，這可能看起來(lái)很煩人；然而，隨著(zhù)你對輸電線(xiàn)路的了解越來(lái)越多，你最終可能會(huì )把它們看作是因禍得福，并開(kāi)始意識到所有這些復雜性。由于其“分布式”特性，無(wú)損傳輸線(xiàn)可以提供無(wú)限帶寬。這與我們對低頻電路的直覺(jué)形成了鮮明對比。

在本文中，我們將推導無(wú)損傳輸線(xiàn)的波動(dòng)方程，并研究其無(wú)限帶寬的顯著(zhù)特征。然而，在此之前，讓我們解釋一下輸電線(xiàn)路的“分布式”性質(zhì)是什么意思。

集中式與分布式方案

當電路尺寸與電路中最短波長(cháng)相當時(shí)，電線(xiàn)應被視為傳輸線(xiàn)。這突顯了電路元件和互連的兩種操作模式之間的界限，即“集中”和分布式模式。在集總方案中，我們處理較低的頻率，并且假設電信號以無(wú)限快的速度通過(guò)電線(xiàn)。術(shù)語(yǔ)集總是指我們可以在電路的某些特定區域識別出單獨的電容器和電感器。例如，考慮圖1所示的無(wú)源帶通濾波器。

圖1 無(wú)源帶通濾波器的示例圖

在上圖中的“區域A”中，磁性?xún)δ苷贾鲗У匚?，因此，電路的這一部分表現為電感性。另一方面，在“區域B”中，電能存儲在電場(chǎng)中，這意味著(zhù)這部分被建模為電容器。在這個(gè)例子中，一些集總電容器、電感器等可用于模擬電路行為。我們在大學(xué)第一學(xué)期教授的電路理論和分析實(shí)際上是集總元件電路分析。對于集總電路，可以很容易地應用基爾霍夫電壓定律（KVL）和基爾霍夫電流定律（KCL）來(lái)計算電路中的電壓和電流。

相比之下，在分布式系統中，我們無(wú)法識別單獨的電容器和電感器。例如，分布式系統中的均勻無(wú)損導線(xiàn)被建模為L(cháng)C截面的無(wú)限梯形網(wǎng)絡(luò )（圖2）。

圖2 LC段的無(wú)限梯形網(wǎng)絡(luò )

該模型表明，每根無(wú)限短的電線(xiàn)都以磁場(chǎng)和電場(chǎng)的形式儲存能量。這兩種形式的能量存儲分布在整個(gè)電線(xiàn)中。在這種情況下，我們無(wú)法將電路的電容性和電感性部分分開(kāi)；它們混合在一起。

此外，在分布式系統中，電信號沿著(zhù)電線(xiàn)以波的形式傳播，這意味著(zhù)電壓和電流是沿著(zhù)電線(xiàn)的時(shí)間和位置的函數。因此，我們可以說(shuō)KVL和KCL在高頻下不成立。

在下一節中，我將嘗試以一種相對接近的方式推導相位常數方程。如果你對學(xué)習導數不感興趣，你可以跳過(guò)下一節，從“方程式摘要”部分繼續。

推導相位常數方程

無(wú)損傳輸線(xiàn)可以用兩個(gè)重要參數來(lái)表征：特性阻抗Z0和相位常數β。特性阻抗指定了無(wú)限長(cháng)線(xiàn)路的電壓波與電流波的比率。相位常數表征了波如何隨位置變化。對于無(wú)損線(xiàn)，Z0由方程1給出：

方程式1

為了推導β的方程，我們需要找到圖3中梯形網(wǎng)絡(luò )模型中出現的穩態(tài)電壓和電流信號。

圖3 梯形網(wǎng)絡(luò )模型

根據第一LC部分的電壓和電流參數，基爾霍夫電壓定律得出：

將兩邊除以Δx，我們得到：

如果我們考慮當Δx接近零時(shí)該方程的極限，則左側的表達式實(shí)際上變?yōu)関（x，t）相對于x的導數。因此，上述方程可以改寫(xiě)為方程2：

方程式2

對于一條無(wú)限長(cháng)的線(xiàn)，沿線(xiàn)任何一點(diǎn)的電壓與電流之比等于Z0。從方程式1中，我們得到：

通過(guò)替換方程2中的i（x，t），得到方程3：

方程式3

現在，兩側都是線(xiàn)電壓，但左側是v（x，t）相對于位置的導數，而右側包括函數相對于時(shí)間的導數。由于我們想要正弦激勵的穩態(tài)響應（如vs（t）=Acos（ωt）），我們可以使用電路理論中的相量概念。

對于這種分析，我們可以假設輸入是復指數電壓Aejωt，而不是vs（t）=Acos（ωt），然后我們找到感興趣的電壓或電流信號。最后，我們取所獲得信號的實(shí)部，以找到實(shí)際輸入vs（t）=Acos（ωt）產(chǎn)生的輸出。

當我們將Aejωt應用于電路時(shí)，ejωt項出現在所有電壓和電流量中。例如，v（x，t）可被視為v（x）ejωt，其中v（x）是一個(gè)復數值，稱(chēng)為v（x，t）的相量。在基本電路理論中，相量顯然不依賴(lài)于位置，因為我們處理的是集總電路。然而，在輸電線(xiàn)路分析中，我們預計相量是位置的函數。將v（x，t）代入v（x）ejωt，方程式3得出：

V（x）不是時(shí)間的函數，ejωt也不是x的函數。因此，使用一點(diǎn)代數，上述方程簡(jiǎn)化為：

EE應該熟悉這個(gè)一階微分方程的解：

其中V0是一個(gè)常數，可以從線(xiàn)路輸入和輸出端口的邊界條件中找到。從相量分析中，我們知道V（x）ejωt的實(shí)部是如果我們將vs（t）=Acos（ωt）應用于輸入時(shí)得到的輸出。因此，我們的最終電壓波為：

定義相位常數

 β=ω√LC

，我們得到：

方程式4

這與我們在上一篇文章中討論電壓波如何沿傳輸線(xiàn)傳播時(shí)使用的波函數相同。將方程4除以Z0得到正向電流波，如方程5所示：

方程式5

無(wú)損過(guò)渡線(xiàn)方程概述

在上一節中，我們推導了正向電壓和電流波的方程。一般來(lái)說(shuō)，正向波和反射波都可以同時(shí)出現在線(xiàn)路上。對于無(wú)損線(xiàn)路，整體電壓和電流波的形式如下：

其中特性阻抗Z0和相位常數β為：

輸電線(xiàn)路的分布式效應：是期望的還是麻煩的？

由于高頻電信號的波動(dòng)行為，射頻設計人員癡迷于將負載阻抗與線(xiàn)路的特性阻抗相匹配。如果沒(méi)有阻抗匹配，最大功率就無(wú)法傳輸到負載，駐波產(chǎn)生的大峰值電壓會(huì )損壞電路組件或互連。然而，傳輸線(xiàn)的分布行為導致了一個(gè)非常有趣的特性。 

基于上述分析，如果我們以任意頻率ω1的正弦vs（t）=Acos（ω1t）激勵線(xiàn)路，則正向電壓波為：

替換β，我們得到：

我們在給定位置x獲得的信號與輸入相同，除了它延遲了

 $$x\sqrt{LC}$$.

此結果對任何頻率都有效。唯一的假設是該線(xiàn)路是無(wú)損的，并且充當傳輸線(xiàn)。如果延遲與頻率有關(guān)，則輸入的不同頻率分量將經(jīng)歷不同量的延遲，從而導致輸出失真。例如，如果我們向具有頻率相關(guān)延遲的系統施加脈沖，輸出可能會(huì )完全失真，因為不同的頻率分量以不相等的時(shí)間偏移到達輸出。

如方程式所示，無(wú)損傳輸線(xiàn)以相同的延遲通過(guò)所有頻率分量。換句話(huà)說(shuō)，該線(xiàn)路具有無(wú)限帶寬。如果我們增加L和C，延遲也會(huì )增加，但所有頻率分量的延遲仍然是恒定的。如果你將其與我們對集總低頻電路的直覺(jué)進(jìn)行比較，你會(huì )發(fā)現這個(gè)功能更令人驚訝，因為增加電容值通常會(huì )降低系統帶寬。

除了均勻延遲外，我們還應該有一個(gè)與頻率無(wú)關(guān)的衰減，以使系統具有無(wú)限帶寬。在上述討論中，我們假設線(xiàn)路是無(wú)損的，因此，所有頻率的衰減都是零。

有損的輸電線(xiàn)路呢？

在現實(shí)世界的傳輸線(xiàn)中，損耗可能由許多因素造成，如導體損耗（趨膚效應）、介電損耗和磁滯效應。這些損失也與頻率有關(guān)。然而，即使使用有損傳輸線(xiàn)，也可以調整線(xiàn)路參數以具有均勻的衰減和群延遲（至少在原則上）。要了解更多信息，您可以參考Thomas H.Lee的《CMOS射頻集成電路的設計》一書(shū)。

高階模式傳播

除了損耗分量外，還有另一個(gè)因素限制了傳輸線(xiàn)的可用帶寬。隨著(zhù)頻率越來(lái)越高，信號的波長(cháng)最終變得與傳輸線(xiàn)的橫截面尺寸相當。在這種情況下，會(huì )產(chǎn)生與我們通常預期不同的電磁場(chǎng)配置。這些模式被稱(chēng)為高階傳播模式。高階模的傳播速度不同于主模的傳播速率。因此，我們通常試圖在傳輸線(xiàn)的第一高階模式以下操作傳輸線(xiàn)。例如，根據導體的尺寸和所采用的電介質(zhì)類(lèi)型，可以指定同軸線(xiàn)工作高達約18GHz，以避免高階模的傳播。